Algebra Beispiele

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$

Schritt 1

$x = \frac{1}{2}$ und $x = \frac{1}{3}$ sind die beiden voneinander verschiedenen reellen Lösungen für die quadratische Gleichung, was bedeutet, dass $x - \frac{1}{2}$ und $x - \frac{1}{3}$ die Faktoren der quadratischen Gleichung sind.

$(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2

Multipliziere $(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{3} = 0$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = 0$

Schritt 3.1.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 3.2

Um $- \frac{x}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 3.3

Um $- \frac{x}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 3.6

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x^{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 3.7

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3 + 1}{6} = 0$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{6 x^{2} - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} = 0$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(6 x^{2} - 1 \cdot (2 x)) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x (3 x - 1) - (3 x - 1)}{6} = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} = 0$

Schritt 5

Multipliziere $(3 x - 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{6} = 0$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{6} = 0$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 x^{2}) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 2 x + 1}{6} = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 3 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{6} = 0$

Schritt 7

Zerlege den Bruch $\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{6}$ in zwei Brüche.

$\frac{6 x^{2} - 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 8

Zerlege den Bruch $\frac{6 x^{2} - 5 x}{6}$ in zwei Brüche.

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 9.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Schritt 11

Die Normalform der quadratischen Gleichung basierend auf der gegebenen Lösungsmenge ${\frac{1}{2}, \frac{1}{3}}$ ist $y = x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6}$ .

$y = x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 12