Algebra Beispiele

$f (x) = 2 x {(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache und ordne das Polynom neu an.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$2 x ((x - 2) (x - 2)) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (x (x - 2) - 2 (x - 2)) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$2 x (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$2 x (x^{2} - 4 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$(2 (x^{2} x) + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.5.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 x^{2 + 1} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.5.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(2 x^{3} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x \cdot x + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$(2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x \cdot x + 8 x) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$(2 x^{3} + 2 \cdot - 4 (x \cdot x) + 8 x) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x^{2} + 8 x) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.6.2

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) ((x + 1) (x + 1))$

Schritt 1.7

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Schritt 1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Schritt 1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Schritt 1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Schritt 1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Schritt 1.8.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Schritt 1.8.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + x + x + 1)$

Schritt 1.8.2

Addiere $x$ und $x$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + 2 x + 1)$

Schritt 1.9

Multipliziere $(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + 2 x + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 x^{3} x^{2} + 2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.10.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.10.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x^{3}) + 2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2 + 3} + 2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.1.3

Addiere $2$ und $3$ .

$2 x^{5} + 2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.10.1.3.1

Bewege $x$ .

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.10.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.10.1.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 (x^{2} x^{2}) - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2 + 2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.6.3

Addiere $2$ und $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.10.1.8.1

Bewege $x$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.10.1.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 x^{1 + 2} - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 x^{3} - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.9

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.10

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.11

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.10.1.11.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 (x^{2} x) + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.11.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.10.1.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 (x^{2} x^{1}) + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{2 + 1} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.11.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 8 \cdot 2 x \cdot x + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.13

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.10.1.13.1

Bewege $x$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 8 \cdot 2 (x \cdot x) + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.13.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 8 \cdot 2 x^{2} + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.14

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x \cdot 1$

Schritt 1.10.1.15

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x$

Schritt 1.10.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.10.2.1

Subtrahiere $8 x^{4}$ von $4 x^{4}$ .

$2 x^{5} - 4 x^{4} + 2 x^{3} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x$

Schritt 1.10.2.2

Subtrahiere $16 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$2 x^{5} - 4 x^{4} - 14 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x$

Schritt 1.10.2.3

Addiere $- 14 x^{3}$ und $8 x^{3}$ .

$2 x^{5} - 4 x^{4} - 6 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x^{2} + 8 x$

Schritt 1.10.2.4

Addiere $- 8 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$2 x^{5} - 4 x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x$

Schritt 2

Der größte Exponent ist der Grad des Polynoms.

$5$