Algebra Beispiele

$\ln (x^{4} + 27)$

Schritt 1

Schreibe $\ln (x^{4} + 27)$ als Funktion.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{4} + 27$ .

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Schritt 2.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Schritt 2.1.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Schritt 2.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Schritt 2.1.1.2.3

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Schritt 2.1.1.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.1.2.4.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Schritt 2.1.1.2.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Schritt 2.1.1.2.4.3

Kombiniere $\frac{4}{x^{4} + 27}$ und $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{4} + 27$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{4} + 27$ .

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.5

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.3.6.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3

Addiere $3$ und $3$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Kombiniere $4$ und $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.6.4.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.6.4.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.4.1.1.3

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.4.1.4

Mutltipliziere $81$ mit $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.4.2

Subtrahiere $16 x^{6}$ von $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $- 4 x^{2}$ aus $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.3.1.1.1

Faktorisiere $- 4 x^{2}$ aus $- 4 x^{6}$ heraus.

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.1.1.2

Faktorisiere $- 4 x^{2}$ aus $324 x^{2}$ heraus.

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

Schritt 2.2.3.1.1.3

Faktorisiere $- 4 x^{2}$ aus $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ heraus.

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

Schritt 2.2.3.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Schritt 2.2.3.1.3

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Schritt 2.2.3.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.3.1.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1.5.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Schritt 2.2.3.1.5.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.3.1.5.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Schritt 2.2.3.1.5.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.2.3.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.2.3.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.2.3.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.3.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.2.3.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.3.4

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.4.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 2.2.3.4.2

Löse $x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.4.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 2.2.3.4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 2.2.3.4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 2.2.3.4.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 2.2.3.4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.2.3.4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.2.3.4.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.2.3.4.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 2.2.3.4.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 2.2.3.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.3.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 2.2.3.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 2.2.3.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 2.2.3.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.2.3.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.2.3.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.2.3.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.2.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\ln (x^{4} + 27)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{4} + 27 > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{4} > - 27$

Schritt 3.2.2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 4 {(- 6)}^{6} + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $46656$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $324$ mit $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 11664}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.5

Addiere $- 186624$ und $11664$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 6$ mit $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $1296$ und $27$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $1323$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1750329}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 174960$ und $1750329$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $729$ aus $- 174960$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $729$ aus $1750329$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 6) = \frac{- 240}{2401}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 6) = - \frac{240}{2401}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{240}{2401}$ .

$- \frac{240}{2401}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 3)$ konkav, weil $f'' (- 6)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 3, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 {(- 2)}^{6} + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $324$ mit $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 1296}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.5

Addiere $- 256$ und $1296$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $16$ und $27$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{43^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $43$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{1849}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1040}{1849}$ .

$\frac{1040}{1849}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 3, 0)$ konvex, weil $f'' (- 2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 3, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, 3)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{- 4 {(2)}^{6} + 324 {(2)}^{2}}{{({(2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2$ mit $6$ .

$f'' (2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $324$ mit $4$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 1296}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.5

Addiere $- 256$ und $1296$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $16$ und $27$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{43^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $43$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{1849}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1040}{1849}$ .

$\frac{1040}{1849}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(0, 3)$ konvex, weil $f'' (2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(0, 3)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f'' (6) = \frac{- 4 {(6)}^{6} + 324 {(6)}^{2}}{{({(6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $6$ mit $6$ .

$f'' (6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $46656$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $324$ mit $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 11664}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5

Addiere $- 186624$ und $11664$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Potenziere $6$ mit $4$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $1296$ und $27$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $1323$ mit $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1750329}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 174960$ und $1750329$ .

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Schritt 8.2.3.1.1

Faktorisiere $729$ aus $- 174960$ heraus.

$f'' (6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

Schritt 8.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.1.2.1

Faktorisiere $729$ aus $1750329$ heraus.

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Schritt 8.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Schritt 8.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (6) = \frac{- 240}{2401}$

Schritt 8.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (6) = - \frac{240}{2401}$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{240}{2401}$ .

$- \frac{240}{2401}$

Schritt 8.3

Der Graph ist im Intervall $(3, \infty)$ konkav, weil $f'' (6)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(3, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 9

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 3, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konvex im Intervall $(0, 3)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(3, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 10