Algebra Beispiele

$\ln (x^{2} + 9)$

Schritt 1

Schreibe $\ln (x^{2} + 9)$ als Funktion.

$f (x) = \ln (x^{2} + 9)$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Schritt 2.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.1.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 2.1.1.2.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (2 x + 0)$

Schritt 2.1.1.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (2 x)$

Schritt 2.1.1.2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2} + 9}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 9} x$

Schritt 2.1.1.2.4.3

Kombiniere $\frac{2}{x^{2} + 9}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 9}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x^{2} + 9}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 9}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 9}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 9$ .

$2 \frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Mutltipliziere $x^{2} + 9$ mit $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9

Kombiniere $2$ und $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 2 x^{2} + 18 = 0$

Schritt 2.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} = - 18$

Schritt 2.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 18$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 18$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

Schritt 2.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

Schritt 2.2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 2}$

Schritt 2.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.2.3.1

Dividiere $- 18$ durch $- 2$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 2.2.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 2.2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 2.2.3.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.2.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 2.2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 2.2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 2.2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \ln (x^{2} + 9)$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\ln (x^{2} + 9)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{2} + 9 > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} > - 9$

Schritt 3.2.2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 2 {(- 6)}^{2} + 18}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 18}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 72 + 18}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $- 72$ und $18$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{{(36 + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $36$ und $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{45^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $45$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{2025}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $2025$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $27$ aus $- 54$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{27 (- 2)}{2025}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $27$ aus $2025$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 6) = \frac{- 2}{75}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 6) = - \frac{2}{75}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{75}$ .

$- \frac{2}{75}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 3)$ konkav, weil $f'' (- 6)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 3, 3)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $0$ und $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $9$ .

$f'' (0) = \frac{18}{9^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f'' (0) = \frac{18}{81}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $81$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{81}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 9}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 9}$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{2}{9}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 3, 3)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 3, 3)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f'' (6) = \frac{- 2 {(6)}^{2} + 18}{{({(6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 18}{{(6^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 72 + 18}{{(6^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Addiere $- 72$ und $18$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{{(6^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{{(36 + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $36$ und $9$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{45^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $45$ mit $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{2025}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $2025$ .

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Schritt 7.2.3.1.1

Faktorisiere $27$ aus $- 54$ heraus.

$f'' (6) = \frac{27 (- 2)}{2025}$

Schritt 7.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Faktorisiere $27$ aus $2025$ heraus.

$f'' (6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

Schritt 7.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (6) = \frac{- 2}{75}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (6) = - \frac{2}{75}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{75}$ .

$- \frac{2}{75}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(3, \infty)$ konkav, weil $f'' (6)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(3, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 3, 3)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(3, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 9