Algebra Beispiele

$\frac{f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6}{h}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [\frac{f (h)}{g (h)}]$ gleich $\frac{g (h) \frac{d}{d h} [f (h)] - f (h) \frac{d}{d h} [g (h)]}{{g (h)}^{2}}$ ist mit $f (h) = f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6$ und $g (h) = h$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 2

Schreibe ${(x - 6)}^{2}$ als $(x - 6) (x - 6)$ um.

$\frac{h \frac{d}{d h} [f ((x - 6) (x - 6)) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere $(x - 6) (x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h \frac{d}{d h} [f (x (x - 6) - 6 (x - 6)) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h \frac{d}{d h} [f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h \frac{d}{d h} [f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [f (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 4.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [f (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [f (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [f (x^{2} - 12 x + 36) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $f (x^{2} - 12 x + 36) + h - x^{2} - 6$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [f (x^{2} - 12 x + 36)] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6]$ .

$\frac{h (\frac{d}{d h} [f (x^{2} - 12 x + 36)] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 6

Da $f (x^{2} - 12 x + 36)$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $f (x^{2} - 12 x + 36)$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{h (0 + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{h (0 + 1 + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 8

Da $- x^{2}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{h (0 + 1 + 0 + \frac{d}{d h} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 9

Da $- 6$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{h (0 + 1 + 0 + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 10

Vereine die Terme

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Schritt 10.1

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{h (1 + 0 + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 10.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{h (1 + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 10.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{h \cdot 1 - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{h \cdot 1 - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h \cdot 1 + (- (f {(x - 6)}^{2}) - h - - x^{2} - - 6) \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h \cdot 1 - (f {(x - 6)}^{2}) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.3.1.1

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$\frac{h - (f {(x - 6)}^{2}) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.2

Schreibe ${(x - 6)}^{2}$ als $(x - 6) (x - 6)$ um.

$\frac{h - (f ((x - 6) (x - 6))) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.3

Multipliziere $(x - 6) (x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 12.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h - (f (x (x - 6) - 6 (x - 6))) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h - (f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h - (f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 12.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.3.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{h - (f (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.4.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{h - (f (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$\frac{h - (f (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.4.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$\frac{h - (f (x^{2} - 12 x + 36)) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h - (f x^{2} + f (- 12 x) + f \cdot 36) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{h - (f x^{2} - 12 f x + f \cdot 36) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.6.2

Bringe $36$ auf die linke Seite von $f$ .

$\frac{h - (f x^{2} - 12 f x + 36 \cdot f) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h + (- (f x^{2}) - (- 12 f x) - (36 f)) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1.8.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$\frac{h + (- f x^{2} + 12 (f x) - (36 f)) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.8.2

Mutltipliziere $36$ mit $- 1$ .

$\frac{h + (- f x^{2} + 12 (f x) - 36 f) \cdot 1 - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.9

Mutltipliziere $- f x^{2} + 12 f x - 36 f$ mit $1$ .

$\frac{h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h \cdot 1 - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h - - x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.11

Multipliziere $- - x^{2}$ .

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Schritt 12.3.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h + 1 x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.11.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h + x^{2} \cdot 1 - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.12

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h + x^{2} - - 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.13

Multipliziere $- - 6 \cdot 1$ .

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Schritt 12.3.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$\frac{h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h + x^{2} + 6 \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 12.3.1.13.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h + x^{2} + 6}{h^{2}}$

Schritt 12.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $h - f x^{2} + 12 f x - 36 f - h + x^{2} + 6$ .

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Schritt 12.3.2.1

Subtrahiere $h$ von $h$ .

$\frac{- f x^{2} + 12 f x - 36 f + 0 + x^{2} + 6}{h^{2}}$

Schritt 12.3.2.2

Addiere $- f x^{2} + 12 f x - 36 f$ und $0$ .

$\frac{- f x^{2} + 12 f x - 36 f + x^{2} + 6}{h^{2}}$

Schritt 12.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} - x^{2} f + 12 f x - 36 f + 6}{h^{2}}$