Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{5 x y^{9}} + \sqrt[3]{5 x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5 x y^{9}}$ als ${(5 x y^{9})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(5 x y^{9})}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{5 x}$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5 x}$ als ${(5 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(5 x y^{9})}^{\frac{1}{3}} + {(5 x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3

Wende die Exponentenregel ${(a i)}^{n} = a^{n} i^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $5 x y^{9}$ an.

${(5 x)}^{\frac{1}{3}} {(y^{9})}^{\frac{1}{3}} + {(5 x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} {(y^{9})}^{\frac{1}{3}} + {(5 x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{9})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{9 (\frac{1}{3})} + {(5 x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{3 (3) \frac{1}{3}} + {(5 x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{3 \cdot 3 \frac{1}{3}} + {(5 x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{3} + {(5 x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{3} + 5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6

Schreibe $5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{3} + 5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ aus $5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{3} + 5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ aus $5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{3}$ heraus.

$5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} (y^{3}) + 5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ aus $5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} (y^{3}) + 5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} (1)$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ aus $5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} (y^{3}) + 5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} (1)$ heraus.

$5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} (y^{3} + 1)$

Schritt 6.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} (y^{3} + 1^{3})$

Schritt 6.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + i^{3} = (a + i) (a^{2} - a i + i^{2})$ , wobei $a = y$ und $i = 1$ .

$5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} ((y + 1) (y^{2} - y \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 6.4

Faktorisiere.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} ((y + 1) (y^{2} - y + 1^{2}))$

Schritt 6.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} ((y + 1) (y^{2} - y + 1))$

Schritt 6.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} (y + 1) (y^{2} - y + 1)$