Algebra Beispiele

$\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y} - \frac{1}{x}$

Schritt 1

Um $\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Schritt 2

Um $- \frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$ .

$\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\frac{2}{y} x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2}{y} x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{2}{y}$ und $x$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2 x}{y}} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2 x}{y}} - \frac{\frac{2}{y}}{x \frac{2}{y}}$

Schritt 3.4

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{y}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2 x}{y}} - \frac{\frac{2}{y}}{\frac{x \cdot 2}{y}}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2 x}{y}} - \frac{\frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x (y)} x - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{y} - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{\frac{{(2 x)}^{2} - y^{2}}{y} - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = 2 x$ und $i = y$ .

$\frac{\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{y} - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{(2 x + y) (2 x - y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4

Schreibe $\frac{(2 x + y) (2 x - y) - 2}{y}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere $(2 x + y) (2 x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 x (2 x - y) + y (2 x - y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 x (2 x) + 2 x (- y) + y (2 x - y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 x (2 x) + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x y + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.2.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 y x + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.2.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 y x - y \cdot y - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.2.1.8

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.2.1.8.1

Bewege $y$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 y x - (y \cdot y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.2.1.8.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 y x - y^{2} - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $- 2 x y$ und $2 y x$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 x y - y^{2} - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.2.2.2

Addiere $- 2 x y$ und $2 x y$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} + 0 - y^{2} - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Schritt 5.4.2.3

Addiere $4 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2} - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$