Algebra Beispiele

${(\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))}^{3}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4}))}^{3}$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.1.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{8} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2})}{8} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2^{1}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 (\frac{2}{4}) \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2 (1)}{4} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 (\frac{1}{2}) \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.9

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.10

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.1.10.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 (i \sqrt{2})}{4} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.11

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.12

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.12.1

Wende die Produktregel auf $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ an.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{{(i \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.12.2

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{2}$ an.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.13

Kombinieren.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.14

Multipliziere $\sqrt{2}$ mit ${\sqrt{2}}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.14.1

Bewege ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.14.2

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $\sqrt{2}$ .

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Schritt 3.1.14.2.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.14.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.14.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.15

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.15.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 3.1.15.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.15.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2}}{2^{1 + 2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.15.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.16.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2^{3}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.16.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{8} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.16.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.1.16.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{4 (2)} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.16.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.16.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 (2 \sqrt{2}) i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.16.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.16.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.16.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{6 \sqrt{2} \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.16.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{- 6 \sqrt{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.17

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{- 6 \sqrt{2}}{8} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $8$ .

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Schritt 3.1.18.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{8} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2 (4)} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2 \cdot 4} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{4} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.20

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.20.1

Wende die Produktregel auf $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ an.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{{(i \sqrt{2})}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.20.2

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{2}$ an.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{i^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.21.1

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.21.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.21.3

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i {\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.21.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{2^{3}}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.21.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{8}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.21.6

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.1.21.6.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{4 (2)}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.21.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.21.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \cdot 2 \sqrt{2}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.21.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- 2 i \sqrt{2}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.22

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- 2 i \sqrt{2}}{8}$

Schritt 3.1.23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $8$ .

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Schritt 3.1.23.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 i \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- i \sqrt{2})}{8}$

Schritt 3.1.23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.23.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 (4)}$

Schritt 3.1.23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.1.24

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + 3 i \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $3 \sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\frac{3 i \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $i \sqrt{2}$ von $3 i \sqrt{2}$ .

$\frac{2 i \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.2.4

Stelle $2 i \sqrt{2}$ und $- 2 \sqrt{2}$ um.

$\frac{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{- (2 \sqrt{2}) + 2 i \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $2 i \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{- (2 \sqrt{2}) - (- 2 i \sqrt{2})}{4}$

Schritt 3.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \sqrt{2}) - (- 2 i \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{- (2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2})}{4}$

Schritt 3.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.8.1

Schreibe $- (2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2})$ als $- 1 (2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2})$ um.

$\frac{- 1 (2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2})}{4}$

Schritt 3.2.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 5

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 6

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 0$ und $b = - \frac{1}{4}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{4})}^{2}}$

Schritt 7

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}$

Schritt 7.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})}$

Schritt 7.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1}{4^{2}})}$

Schritt 7.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1}{16})}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{16}}$

Schritt 7.7

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{16}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.8

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.9.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$| z | = \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 7.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = \frac{1}{4}$

Schritt 8

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{4}}{0})$

Schritt 9

Da das Argument nicht definiert ist und $b$ negativ ist, ist der Winkel des Punktes in der komplexen Ebene $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 10

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{2}$ und $| z | = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))}$