Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} \frac{40}{13} & \frac{70}{13} \\ \frac{28}{13} & \frac{140}{13} \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$\frac{40}{13} \cdot \frac{140}{13} - \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Multipliziere $\frac{40}{13} \cdot \frac{140}{13}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{40}{13}$ mit $\frac{140}{13}$ .

$\frac{40 \cdot 140}{13 \cdot 13} - \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $40$ mit $140$ .

$\frac{5600}{13 \cdot 13} - \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$

Schritt 2.2.1.1.3

Mutltipliziere $13$ mit $13$ .

$\frac{5600}{169} - \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $- \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{70}{13}$ mit $\frac{28}{13}$ .

$\frac{5600}{169} - \frac{70 \cdot 28}{13 \cdot 13}$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $70$ mit $28$ .

$\frac{5600}{169} - \frac{1960}{13 \cdot 13}$

Schritt 2.2.1.2.3

Mutltipliziere $13$ mit $13$ .

$\frac{5600}{169} - \frac{1960}{169}$

Schritt 2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5600 - 1960}{169}$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $1960$ von $5600$ .

$\frac{3640}{169}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3640$ und $169$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $13$ aus $3640$ heraus.

$\frac{13 (280)}{169}$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.1

Faktorisiere $13$ aus $169$ heraus.

$\frac{13 \cdot 280}{13 \cdot 13}$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{13 \cdot 280}{13 \cdot 13}$

Schritt 2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{280}{13}$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{280}{13}} [\begin{array}{c} \frac{140}{13} & - \frac{70}{13} \\ - \frac{28}{13} & \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{13}{280}) [\begin{array}{c} \frac{140}{13} & - \frac{70}{13} \\ - \frac{28}{13} & \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{13}{280}$ mit $1$ .

$\frac{13}{280} [\begin{array}{c} \frac{140}{13} & - \frac{70}{13} \\ - \frac{28}{13} & \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 7

Multipliziere $\frac{13}{280}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{280} \cdot \frac{140}{13} & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{280} \cdot \frac{140}{13} & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.1.2

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{280} \cdot 140 & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $140$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Faktorisiere $140$ aus $280$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{140 (2)} \cdot 140 & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{140 \cdot 2} \cdot 140 & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{70}{13}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{13}{280} \cdot \frac{- 70}{13} \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{13}{280} \cdot \frac{- 70}{13} \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.3.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{280} \cdot - 70 \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $70$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Faktorisiere $70$ aus $280$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{70 (4)} \cdot - 70 \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.4.2

Faktorisiere $70$ aus $- 70$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{70 \cdot 4} \cdot (70 \cdot - 1) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{70 \cdot 4} \cdot (70 \cdot - 1) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.4.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \cdot - 1 \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 1}{4} \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{28}{13}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{13}{280} \cdot \frac{- 28}{13} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{13}{280} \cdot \frac{- 28}{13} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.7.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{280} \cdot - 28 & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $28$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.8.1

Faktorisiere $28$ aus $280$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{28 (10)} \cdot - 28 & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.8.2

Faktorisiere $28$ aus $- 28$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{28 \cdot 10} \cdot (28 \cdot - 1) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{28 \cdot 10} \cdot (28 \cdot - 1) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.8.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{10} \cdot - 1 & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.9

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{- 1}{10} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Schritt 8.11.2

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{280} \cdot 40 \end{array}]$

Schritt 8.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $40$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.12.1

Faktorisiere $40$ aus $280$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{40 (7)} \cdot 40 \end{array}]$

Schritt 8.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{40 \cdot 7} \cdot 40 \end{array}]$

Schritt 8.12.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{7} \end{array}]$