Algebra Beispiele

$h (x) = - \frac{1}{64} x^{2} + \frac{13}{32} x + 2$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \frac{1}{64} x^{2} + \frac{13}{32} x + 2$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{64} x^{2} + \frac{13}{32} x + 2 = 0$ um.

$- \frac{1}{64} x^{2} + \frac{13}{32} x + 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{64}$ .

$- \frac{x^{2}}{64} + \frac{13}{32} x + 2 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Kombiniere $\frac{13}{32}$ und $x$ .

$- \frac{x^{2}}{64} + \frac{13 x}{32} + 2 = 0$

Schritt 1.2.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $64$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 1.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$64 (- \frac{x^{2}}{64}) + 64 (\frac{13 x}{32}) + 64 \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{64}$ in den Zähler.

$64 (\frac{- x^{2}}{64}) + 64 (\frac{13 x}{32}) + 64 \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 (\frac{- x^{2}}{64}) + 64 (\frac{13 x}{32}) + 64 \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} + 64 (\frac{13 x}{32}) + 64 \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $32$ aus $64$ heraus.

$- x^{2} + 32 (2) (\frac{13 x}{32}) + 64 \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x^{2} + 32 \cdot (2 (\frac{13 x}{32})) + 64 \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} + 2 (13 x) + 64 \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $13$ mit $2$ .

$- x^{2} + 26 x + 64 \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.3.2.4

Mutltipliziere $64$ mit $2$ .

$- x^{2} + 26 x + 128 = 0$

Schritt 1.2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 26$ und $c = 128$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 26 \pm \sqrt{26^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 128)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $26$ mit $2$ .

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{676 - 4 \cdot - 1 \cdot 128}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 128$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{676 + 4 \cdot 128}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $128$ .

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{676 + 512}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $676$ und $512$ .

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{1188}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $1188$ als $6^{2} \cdot 33$ um.

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Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $1188$ heraus.

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{36 (33)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 33}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 26 \pm 6 \sqrt{33}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 26 \pm 6 \sqrt{33}}{- 2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{- 26 \pm 6 \sqrt{33}}{- 2}$ .

$x = 13 \pm 3 \sqrt{33}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $26$ mit $2$ .

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{676 - 4 \cdot - 1 \cdot 128}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 128$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{676 + 4 \cdot 128}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $128$ .

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{676 + 512}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Addiere $676$ und $512$ .

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{1188}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $1188$ als $6^{2} \cdot 33$ um.

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Schritt 1.2.7.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $1188$ heraus.

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{36 (33)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.7.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 33}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 26 \pm 6 \sqrt{33}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 26 \pm 6 \sqrt{33}}{- 2}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache $\frac{- 26 \pm 6 \sqrt{33}}{- 2}$ .

$x = 13 \pm 3 \sqrt{33}$

Schritt 1.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 13 + 3 \sqrt{33}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.1

Potenziere $26$ mit $2$ .

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{676 - 4 \cdot - 1 \cdot 128}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 128$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{676 + 4 \cdot 128}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $128$ .

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{676 + 512}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.1.3

Addiere $676$ und $512$ .

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{1188}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.1.4

Schreibe $1188$ als $6^{2} \cdot 33$ um.

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Schritt 1.2.8.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $1188$ heraus.

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{36 (33)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 26 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 33}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 26 \pm 6 \sqrt{33}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 26 \pm 6 \sqrt{33}}{- 2}$

Schritt 1.2.8.3

Vereinfache $\frac{- 26 \pm 6 \sqrt{33}}{- 2}$ .

$x = 13 \pm 3 \sqrt{33}$

Schritt 1.2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 13 - 3 \sqrt{33}$

Schritt 1.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 13 + 3 \sqrt{33}, 13 - 3 \sqrt{33}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(13 + 3 \sqrt{33}, 0), (13 - 3 \sqrt{33}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \frac{1}{64} \cdot {(0)}^{2} + \frac{13}{32} \cdot (0) + 2$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{64} \cdot 0^{2} + \frac{13}{32} \cdot (0) + 2$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $\frac{13}{32}$ mit $0$ .

$y = - \frac{1}{64} \cdot 0^{2} + \frac{13}{32} \cdot 0 + 2$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{64} \cdot {(0)}^{2} + \frac{13}{32} \cdot (0) + 2$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $- \frac{1}{64} \cdot {(0)}^{2} + \frac{13}{32} \cdot (0) + 2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - \frac{1}{64} \cdot 0 + \frac{13}{32} \cdot (0) + 2$

Schritt 2.2.4.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{64} \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$y = 0 (\frac{1}{64}) + \frac{13}{32} \cdot (0) + 2$

Schritt 2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{64}$ .

$y = 0 + \frac{13}{32} \cdot (0) + 2$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $\frac{13}{32}$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 2$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 2$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$y = 2$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 2)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(13 + 3 \sqrt{33}, 0), (13 - 3 \sqrt{33}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 2)$

Schritt 4