Algebra Beispiele

$8 x^{3} - 10$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 8 y^{3} - 10$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $8 y^{3} - 10 = x$ um.

$8 y^{3} - 10 = x$

Schritt 2.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 y^{3} = x + 10$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $8 y^{3} = x + 10$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y^{3} = x + 10$ durch $8$ .

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{10}{8}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{10}{8}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{8} + \frac{10}{8}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $8$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y^{3} = \frac{x}{8} + \frac{2 (5)}{8}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y^{3} = \frac{x}{8} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = \frac{x}{8} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = \frac{x}{8} + \frac{5}{4}$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5}{4}}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5}{4}}$ .

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Schritt 2.5.1

Um $\frac{5}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.5.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 2}}$

Schritt 2.5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5 \cdot 2}{8}}$

Schritt 2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 5 \cdot 2}{8}}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 10}{8}}$

Schritt 2.5.5

Schreibe $\frac{x + 10}{8}$ als ${(\frac{1}{2})}^{3} (x + 10)$ um.

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Schritt 2.5.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{3}$ aus $x + 10$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x + 10)}{8}}$

Schritt 2.5.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{3}$ aus $8$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x + 10)}{2^{3} \cdot 1}}$

Schritt 2.5.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{3} (x + 10)}{2^{3} \cdot 1}$ um.

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (x + 10)}$

Schritt 2.5.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x + 10}$

Schritt 2.5.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt[3]{x + 10}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 8 x^{3} - 10$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (8 x^{3} - 10)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 10) = \frac{\sqrt[3]{(8 x^{3} - 10) + 10}}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Addiere $- 10$ und $10$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 10) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $8 x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 10) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Schreibe $8 x^{3}$ als ${(2 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 10) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Schritt 4.2.3.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 10) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 10) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 10) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2})}^{3} - 10$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x + 10}}^{3}}{2^{3}}) - 10$

Schritt 4.3.3.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x + 10}}^{3}$ als $x + 10$ um.

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Schritt 4.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 10}$ als ${(x + 10)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}) = 8 (\frac{{({(x + 10)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 10$

Schritt 4.3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 10$

Schritt 4.3.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 10)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 10$

Schritt 4.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 10)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 10$

Schritt 4.3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}) = 8 (\frac{x + 10}{2^{3}}) - 10$

Schritt 4.3.3.2.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}) = 8 (\frac{x + 10}{2^{3}}) - 10$

Schritt 4.3.3.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}) = 8 (\frac{x + 10}{8}) - 10$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}) = 8 (\frac{x + 10}{8}) - 10$

Schritt 4.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}) = x + 10 - 10$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 10 - 10$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 8 x^{3} - 10$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 10}}{2}$