Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{8^{x}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{8^{y}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{8^{y}} = x$ um.

$\sqrt[3]{8^{y}} = x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{8^{y}}}^{3} = x^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{8^{y}}$ als $8^{\frac{y}{3}}$ neu zu schreiben.

${(8^{\frac{y}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(8^{\frac{y}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8^{\frac{y}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8^{\frac{y}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8^{y} = x^{3}$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (8^{y}) = \ln (x^{3})$

Schritt 2.4.2

Zerlege $\ln (8^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (8) = \ln (x^{3})$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (8) = \ln (x^{3})$ durch $\ln (8)$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (8) = \ln (x^{3})$ durch $\ln (8)$ .

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (8)$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{8^{x}}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{8^{x}})}^{3})}{\ln (8)}$

Schritt 4.2.3

Schreibe ${\sqrt[3]{8^{x}}}^{3}$ als $8^{x}$ um.

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Schritt 4.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{8^{x}}$ als $8^{\frac{x}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln ({(8^{\frac{x}{3}})}^{3})}{\ln (8)}$

Schritt 4.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x}{3} \cdot 3})}{\ln (8)}$

Schritt 4.2.3.3

Kombiniere $\frac{x}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x \cdot 3}{3}})}{\ln (8)}$

Schritt 4.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x \cdot 3}{3}})}{\ln (8)}$

Schritt 4.2.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{x})}{\ln (8)}$

Schritt 4.2.4

Zerlege $\ln (8^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (8)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

Schritt 4.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{8^{\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}}$

Schritt 4.3.3

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{8^{\log_{8} (x^{3})}}$

Schritt 4.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 4.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{8^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$