Algebra Beispiele

$0.3 {(4)}^{x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 0.3 {(4)}^{y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $0.3 \cdot 4^{y} = x$ um.

$0.3 \cdot 4^{y} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $0.3 \cdot 4^{y} = x$ durch $0.3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $0.3 \cdot 4^{y} = x$ durch $0.3$ .

$\frac{0.3 \cdot 4^{y}}{0.3} = \frac{x}{0.3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.3 \cdot 4^{y}}{0.3} = \frac{x}{0.3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $4^{y}$ durch $1$ .

$4^{y} = \frac{x}{0.3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$4^{y} = \frac{1 x}{0.3}$

Schritt 2.2.3.2

Faktorisiere $0.3$ aus $0.3$ heraus.

$4^{y} = \frac{1 x}{0.3 (1)}$

Schritt 2.2.3.3

Separiere Brüche.

$4^{y} = \frac{1}{0.3} \cdot \frac{x}{1}$

Schritt 2.2.3.4

Dividiere $1$ durch $0.3$ .

$4^{y} = 3.\overline{3} \frac{x}{1}$

Schritt 2.2.3.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$4^{y} = 3.\overline{3} x$

Schritt 2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{y}) = \ln (3.\overline{3} x)$

Schritt 2.4

Zerlege $\ln (4^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (4) = \ln (3.\overline{3} x)$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (4) = \ln (3.\overline{3} x)$ durch $\ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (4) = \ln (3.\overline{3} x)$ durch $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 0.3 {(4)}^{x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (0.3 {(4)}^{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (0.3 {(4)}^{x}) = \frac{\ln (3.\overline{3} (0.3 {(4)}^{x}))}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $3.\overline{3}$ mit $0.3$ .

$f^{- 1} (0.3 {(4)}^{x}) = \frac{\ln (1 \cdot 4^{x})}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $4^{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (0.3 {(4)}^{x}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.4

Zerlege $\ln (4^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (0.3 {(4)}^{x}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (0.3 {(4)}^{x}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (0.3 {(4)}^{x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}) = 0.3 {(4)}^{\frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}}$

Schritt 4.3.3

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}) = 0.3 \cdot 4^{\log_{4} (3.\overline{3} x)}$

Schritt 4.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}) = 0.3 \cdot (3.\overline{3} x)$

Schritt 4.3.5

Multipliziere $0.3 (3.\overline{3} x)$ .

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $3.\overline{3}$ mit $0.3$ .

$f (\frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}) = 1 x$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 0.3 {(4)}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (3.\overline{3} x)}{\ln (4)}$