Algebra Beispiele

$\frac{5 x - 6}{7 x + 8}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{5 y - 6}{7 y + 8}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5 y - 6}{7 y + 8} = x$ um.

$\frac{5 y - 6}{7 y + 8} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$7 y + 8, 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$7 y + 8, 1$

Schritt 2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$7 y + 8$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{5 y - 6}{7 y + 8} = x$ mit $7 y + 8$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{5 y - 6}{7 y + 8} = x$ mit $7 y + 8$ .

$\frac{5 y - 6}{7 y + 8} (7 y + 8) = x (7 y + 8)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 y + 8$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y - 6}{7 y + 8} (7 y + 8) = x (7 y + 8)$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 y - 6 = x (7 y + 8)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 y - 6 = x (7 y) + x \cdot 8$

Schritt 2.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 2.3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 y - 6 = 7 x y + x \cdot 8$

Schritt 2.3.3.2.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 y - 6 = 7 x y + 8 x$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $7 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y - 6 - 7 x y = 8 x$

Schritt 2.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y - 7 x y = 8 x + 6$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $5 y - 7 x y$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $5 y$ heraus.

$y \cdot 5 - 7 x y = 8 x + 6$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 7 x y$ heraus.

$y \cdot 5 + y (- 7 x) = 8 x + 6$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 5 + y (- 7 x)$ heraus.

$y (5 - 7 x) = 8 x + 6$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (5 - 7 x) = 8 x + 6$ durch $5 - 7 x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (5 - 7 x) = 8 x + 6$ durch $5 - 7 x$ .

$\frac{y (5 - 7 x)}{5 - 7 x} = \frac{8 x}{5 - 7 x} + \frac{6}{5 - 7 x}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 - 7 x$ .

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Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (5 - 7 x)}{5 - 7 x} = \frac{8 x}{5 - 7 x} + \frac{6}{5 - 7 x}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{8 x}{5 - 7 x} + \frac{6}{5 - 7 x}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{8 x + 6}{5 - 7 x}$

Schritt 2.4.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $8 x + 6$ heraus.

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Schritt 2.4.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x) + 6}{5 - 7 x}$

Schritt 2.4.4.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x) + 2 (3)}{5 - 7 x}$

Schritt 2.4.4.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x) + 2 (3)$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{5 x - 6}{7 x + 8}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (4 (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) + 3)}{5 - 7 \frac{5 x - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{5 x - 6}{7 x + 8}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{4 (5 x - 6)}{7 x + 8} + 3)}{5 - 7 \frac{5 x - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.3.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 x + 8}{7 x + 8}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{4 (5 x - 6)}{7 x + 8} + \frac{3 (7 x + 8)}{7 x + 8})}{5 - 7 \frac{5 x - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{4 (5 x - 6) + 3 (7 x + 8)}{7 x + 8})}{5 - 7 \frac{5 x - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.3.4

Schreibe $\frac{4 (5 x - 6) + 3 (7 x + 8)}{7 x + 8}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{4 (5 x) + 4 \cdot - 6 + 3 (7 x + 8)}{7 x + 8})}{5 - 7 \frac{5 x - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.3.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{20 x + 4 \cdot - 6 + 3 (7 x + 8)}{7 x + 8})}{5 - 7 \frac{5 x - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.3.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{20 x - 24 + 3 (7 x + 8)}{7 x + 8})}{5 - 7 \frac{5 x - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.3.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{20 x - 24 + 3 (7 x) + 3 \cdot 8}{7 x + 8})}{5 - 7 \frac{5 x - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.3.4.5

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{20 x - 24 + 21 x + 3 \cdot 8}{7 x + 8})}{5 - 7 \frac{5 x - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.3.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{20 x - 24 + 21 x + 24}{7 x + 8})}{5 - 7 \frac{5 x - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.3.4.7

Addiere $20 x$ und $21 x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x - 24 + 24}{7 x + 8})}{5 - 7 \frac{5 x - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.3.4.8

Addiere $- 24$ und $24$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x + 0}{7 x + 8})}{5 - 7 \frac{5 x - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.3.4.9

Addiere $41 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x}{7 x + 8})}{5 - 7 \frac{5 x - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.4.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{5 x - 6}{7 x + 8}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x}{7 x + 8})}{5 + \frac{- 7 (5 x - 6)}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x}{7 x + 8})}{5 - \frac{7 (5 x - 6)}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.4.3

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 x + 8}{7 x + 8}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x}{7 x + 8})}{\frac{5 (7 x + 8)}{7 x + 8} - \frac{7 (5 x - 6)}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x}{7 x + 8})}{\frac{5 (7 x + 8) - 7 (5 x - 6)}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.4.5

Schreibe $\frac{5 (7 x + 8) - 7 (5 x - 6)}{7 x + 8}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x}{7 x + 8})}{\frac{5 (7 x) + 5 \cdot 8 - 7 (5 x - 6)}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.4.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x}{7 x + 8})}{\frac{35 x + 5 \cdot 8 - 7 (5 x - 6)}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.4.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x}{7 x + 8})}{\frac{35 x + 40 - 7 (5 x - 6)}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.4.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x}{7 x + 8})}{\frac{35 x + 40 - 7 (5 x) - 7 \cdot - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.4.5.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x}{7 x + 8})}{\frac{35 x + 40 - 35 x - 7 \cdot - 6}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.4.5.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x}{7 x + 8})}{\frac{35 x + 40 - 35 x + 42}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.4.5.7

Subtrahiere $35 x$ von $35 x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x}{7 x + 8})}{\frac{0 + 40 + 42}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.4.5.8

Addiere $0$ und $40$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x}{7 x + 8})}{\frac{40 + 42}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.4.5.9

Addiere $40$ und $42$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{2 (\frac{41 x}{7 x + 8})}{\frac{82}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.5

Kombiniere $2$ und $\frac{41 x}{7 x + 8}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{\frac{2 (41 x)}{7 x + 8}}{\frac{82}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $41$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{\frac{82 x}{7 x + 8}}{\frac{82}{7 x + 8}}$

Schritt 4.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{82 x}{7 x + 8} \cdot \frac{7 x + 8}{82}$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $82$ .

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Schritt 4.2.8.1

Faktorisiere $82$ aus $82 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{82 (x)}{7 x + 8} \cdot \frac{7 x + 8}{82}$

Schritt 4.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{82 x}{7 x + 8} \cdot \frac{7 x + 8}{82}$

Schritt 4.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{x}{7 x + 8} \cdot (7 x + 8)$

Schritt 4.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 x + 8$ .

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Schritt 4.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = \frac{x}{7 x + 8} \cdot (7 x + 8)$

Schritt 4.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7 x + 8}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{5 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) - 6}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1

Multipliziere $5 \frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{5 (2 (4 x + 3))}{5 - 7 x} - 6}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{10 (4 x + 3)}{5 - 7 x} - 6}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 - 7 x}{5 - 7 x}$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{10 (4 x + 3)}{5 - 7 x} - 6 \cdot \frac{5 - 7 x}{5 - 7 x}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{5 - 7 x}{5 - 7 x}$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{10 (4 x + 3)}{5 - 7 x} + \frac{- 6 (5 - 7 x)}{5 - 7 x}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{10 (4 x + 3) - 6 (5 - 7 x)}{5 - 7 x}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.5

Stelle die Terme um.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{10 (4 x + 3) - 6 (5 - 7 x)}{- 7 x + 5}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.6

Schreibe $\frac{10 (4 x + 3) - 6 (5 - 7 x)}{- 7 x + 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $10 (4 x + 3) - 6 (5 - 7 x)$ heraus.

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Schritt 4.3.3.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 (4 x + 3)$ heraus.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{2 (5 (4 x + 3)) - 6 (5 - 7 x)}{- 7 x + 5}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 (5 - 7 x)$ heraus.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{2 (5 (4 x + 3)) + 2 (- 3 (5 - 7 x))}{- 7 x + 5}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 (4 x + 3)) + 2 (- 3 (5 - 7 x))$ heraus.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{2 (5 (4 x + 3) - 3 (5 - 7 x))}{- 7 x + 5}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{2 (5 (4 x) + 5 \cdot 3 - 3 (5 - 7 x))}{- 7 x + 5}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.6.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{2 (20 x + 5 \cdot 3 - 3 (5 - 7 x))}{- 7 x + 5}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.6.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{2 (20 x + 15 - 3 (5 - 7 x))}{- 7 x + 5}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{2 (20 x + 15 - 3 \cdot 5 - 3 (- 7 x))}{- 7 x + 5}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.6.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{2 (20 x + 15 - 15 - 3 (- 7 x))}{- 7 x + 5}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.6.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 3$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{2 (20 x + 15 - 15 + 21 x)}{- 7 x + 5}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.6.8

Addiere $20 x$ und $21 x$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{2 (41 x + 15 - 15)}{- 7 x + 5}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.6.9

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{2 (41 x + 0)}{- 7 x + 5}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.6.10

Addiere $41 x$ und $0$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{2 \cdot (41 x)}{- 7 x + 5}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.3.6.11

Mutltipliziere $2$ mit $41$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{7 (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) + 8}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Multipliziere $7 \frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Kombiniere $7$ und $\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{7 (2 (4 x + 3))}{5 - 7 x} + 8}$

Schritt 4.3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{14 (4 x + 3)}{5 - 7 x} + 8}$

Schritt 4.3.4.2

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 - 7 x}{5 - 7 x}$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{14 (4 x + 3)}{5 - 7 x} + \frac{8 (5 - 7 x)}{5 - 7 x}}$

Schritt 4.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{14 (4 x + 3) + 8 (5 - 7 x)}{5 - 7 x}}$

Schritt 4.3.4.4

Stelle die Terme um.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{14 (4 x + 3) + 8 (5 - 7 x)}{- 7 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.5

Schreibe $\frac{14 (4 x + 3) + 8 (5 - 7 x)}{- 7 x + 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $14 (4 x + 3) + 8 (5 - 7 x)$ heraus.

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Schritt 4.3.4.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $14 (4 x + 3)$ heraus.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{2 (7 (4 x + 3)) + 8 (5 - 7 x)}{- 7 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8 (5 - 7 x)$ heraus.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{2 (7 (4 x + 3)) + 2 (4 (5 - 7 x))}{- 7 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (7 (4 x + 3)) + 2 (4 (5 - 7 x))$ heraus.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{2 (7 (4 x + 3) + 4 (5 - 7 x))}{- 7 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{2 (7 (4 x) + 7 \cdot 3 + 4 (5 - 7 x))}{- 7 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{2 (28 x + 7 \cdot 3 + 4 (5 - 7 x))}{- 7 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.5.4

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{2 (28 x + 21 + 4 (5 - 7 x))}{- 7 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{2 (28 x + 21 + 4 \cdot 5 + 4 (- 7 x))}{- 7 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.5.6

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{2 (28 x + 21 + 20 + 4 (- 7 x))}{- 7 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.5.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{2 (28 x + 21 + 20 - 28 x)}{- 7 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.5.8

Subtrahiere $28 x$ von $28 x$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{2 (0 + 21 + 20)}{- 7 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.5.9

Addiere $0$ und $21$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{2 (21 + 20)}{- 7 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.5.10

Addiere $21$ und $20$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{2 \cdot 41}{- 7 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $41$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{\frac{82 x}{- 7 x + 5}}{\frac{82}{- 7 x + 5}}$

Schritt 4.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{82 x}{- 7 x + 5} \cdot \frac{- 7 x + 5}{82}$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $82$ .

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $82$ aus $82 x$ heraus.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{82 (x)}{- 7 x + 5} \cdot \frac{- 7 x + 5}{82}$

Schritt 4.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{82 x}{- 7 x + 5} \cdot \frac{- 7 x + 5}{82}$

Schritt 4.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{x}{- 7 x + 5} \cdot (- 7 x + 5)$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $\frac{x}{- 7 x + 5}$ mit $- 7 x + 5$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{x (- 7 x + 5)}{- 7 x + 5}$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7 x + 5$ .

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Schritt 4.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = \frac{x (- 7 x + 5)}{- 7 x + 5}$

Schritt 4.3.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{5 x - 6}{7 x + 8}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (4 x + 3)}{5 - 7 x}$