Algebra Beispiele

$\frac{36^{x}}{6^{x}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{36^{y}}{6^{y}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{36^{y}}{6^{y}} = x$ um.

$\frac{36^{y}}{6^{y}} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $6^{y}$ .

$\frac{36^{y}}{6^{y}} \cdot 6^{y} = x \cdot 6^{y}$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6^{y}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36^{y}}{6^{y}} \cdot 6^{y} = x \cdot 6^{y}$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$36^{y} = x \cdot 6^{y}$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (36^{y}) = \ln (x \cdot 6^{y})$

Schritt 2.4.2

Zerlege $\ln (36^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (36) = \ln (x \cdot 6^{y})$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\ln (x \cdot 6^{y})$ als $\ln (x) + \ln (6^{y})$ um.

$y \ln (36) = \ln (x) + \ln (6^{y})$

Schritt 2.4.4

Zerlege $\ln (6^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (36) = \ln (x) + y \ln (6)$

Schritt 2.4.5

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$y \ln (36) - \ln (x) - y \ln (6) = 0$

Schritt 2.4.5.2

Addiere $\ln (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \ln (36) - y \ln (6) = \ln (x)$

Schritt 2.4.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (36) - y \ln (6)$ heraus.

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Schritt 2.4.5.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (36)$ heraus.

$y (\ln (36)) - y \ln (6) = \ln (x)$

Schritt 2.4.5.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln (6)$ heraus.

$y (\ln (36)) + y (- 1 \ln (6)) = \ln (x)$

Schritt 2.4.5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (\ln (36)) + y (- 1 \ln (6))$ heraus.

$y (\ln (36) - 1 \ln (6)) = \ln (x)$

Schritt 2.4.5.4

Schreibe $- 1 \ln (6)$ als $- \ln (6)$ um.

$y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$

Schritt 2.4.5.5

Teile jeden Ausdruck in $y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$ durch $\ln (36) - \ln (6)$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$ durch $\ln (36) - \ln (6)$ .

$\frac{y (\ln (36) - \ln (6))}{\ln (36) - \ln (6)} = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Schritt 2.4.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (36) - \ln (6)$ .

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Schritt 2.4.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (\ln (36) - \ln (6))}{\ln (36) - \ln (6)} = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Schritt 2.4.5.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{36^{x}}{6^{x}}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (\frac{36^{x}}{6^{x}})}{\ln (36) - \ln (6)}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Wende die Quotientenregel an $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln ({(\frac{36}{6})}^{x})}{\ln (36) - \ln (6)}$

Schritt 4.2.3.2

Dividiere $36$ durch $6$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (36) - \ln (6)}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.4.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (\frac{36}{6})}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $36$ durch $6$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (6)}$

Schritt 4.2.5

Zerlege $\ln (6^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (6)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

Schritt 4.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.3.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{36}{6})}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

Schritt 4.3.3.2

Dividiere $36$ durch $6$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{36}{6})}}}$

Schritt 4.3.4.2

Dividiere $36$ durch $6$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.5.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\log_{6} (x)}}$

Schritt 4.3.5.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{x}$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{36^{x}}{6^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$