Algebra Beispiele

$g (x) = \sqrt{x + 5}$ , $x \geq - 5$

Schritt 1

Ermittele den Wertebereich der gegebenen Funktion.

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Schritt 1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

$[0, \infty)$

Schritt 1.2

Wandle $[0, \infty)$ in eine Ungleichung um.

$y \geq 0$

Schritt 2

Ermittle die Umkehrfunktion.

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Schritt 2.1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{y + 5}$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{y + 5} = x$ um.

$\sqrt{y + 5} = x$

Schritt 2.2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 5}}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 5}$ als ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Vereinfache ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 5)}^{1} = x^{2}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Vereinfache.

$y + 5 = x^{2}$

Schritt 2.2.4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 5$

Schritt 2.3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$

Schritt 3

Ermittele die Inverse mithilfe des Definitions- und Wertebereichs der ursprünglichen Funktion.

$g^{- 1} (x) = x^{2} - 5, x \geq 0$

Schritt 4