Algebra Beispiele

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{y} + \ln (x y))$

Schritt 2

Die Ableitung von $z$ nach $x$ ist $z'$ .

$z'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{y} + \ln (x y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \cdot 1)$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} y$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $\frac{1}{x y}$ und $y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

Schritt 3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

Schritt 3.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1.1

Um $y x^{y - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y x^{y - 1} x}{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y x^{y - 1} x + 1}{x}$

Schritt 3.3.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{y - 1}) + 1}{x}$

Schritt 3.3.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x^{1 + y - 1} + 1}{x}$

Schritt 3.3.1.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{y x^{y + 0} + 1}{x}$

Schritt 3.3.1.6

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

Schritt 3.3.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{y} y + 1}{x}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Faktoren in $\frac{x^{y} y + 1}{x}$ um.

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$z' = \frac{y x^{y} + 1}{x}$

Schritt 5

Ersetze $z'$ durch $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{y x^{y} + 1}{x}$