Algebra Beispiele

$x e^{2 y} + y = 4$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x e^{2 y} + y) = \frac{d}{d y} (4)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{2 y} + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x e^{2 y}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = e^{2 y}$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + e^{2 y} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = 2 y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 y$ .

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + e^{2 y} x' + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x (e^{2 y} \cdot 2) + e^{2 y} x' + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 y}$ .

$x (2 \cdot e^{2 y}) + e^{2 y} x' + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x e^{2 y} + e^{2 y} x' + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x e^{2 y} + e^{2 y} x' + 1$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x e^{2 y} + e^{2 y} x' + 1 = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $2 x e^{2 y} + e^{2 y} x' + 1$ um.

$2 x e^{2 y} + x' e^{2 y} + 1 = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 x e^{2 y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x' e^{2 y} + 1 = - 2 x e^{2 y}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x' e^{2 y} = - 2 x e^{2 y} - 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x' e^{2 y} = - 2 x e^{2 y} - 1$ durch $e^{2 y}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x' e^{2 y} = - 2 x e^{2 y} - 1$ durch $e^{2 y}$ .

$\frac{x' e^{2 y}}{e^{2 y}} = \frac{- 2 x e^{2 y}}{e^{2 y}} + \frac{- 1}{e^{2 y}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 y}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' e^{2 y}}{e^{2 y}} = \frac{- 2 x e^{2 y}}{e^{2 y}} + \frac{- 1}{e^{2 y}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 2 x e^{2 y}}{e^{2 y}} + \frac{- 1}{e^{2 y}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 y}$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{- 2 x e^{2 y}}{e^{2 y}} + \frac{- 1}{e^{2 y}}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Dividiere $- 2 x$ durch $1$ .

$x' = - 2 x + \frac{- 1}{e^{2 y}}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - 2 x - \frac{1}{e^{2 y}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 2 x - \frac{1}{e^{2 y}}$