Algebra Beispiele

$y = x {(x - 4)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x {(x - 4)}^{3})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3})]$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3})]$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3})]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3})]$

Schritt 3.2.4

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ .

$x \frac{d}{d y} [x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64] + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]$ .

$x (\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$x (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.6

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.7

Da $- 12$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{2}$ nach $y$ gleich $- 12 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.10

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.11

Da $48$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $48 x$ nach $y$ gleich $48 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.12

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x' + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.13

Da $- 64$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 64$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x' + 0) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.14

Addiere $3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x'$ und $0$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.15

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) x'$

Schritt 3.16

Vereinfache.

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Schritt 3.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x^{2} x') + x (- 24 x x') + x (48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) x'$

Schritt 3.16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x^{2} x') + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Schritt 3.16.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.16.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (x^{1} x^{2}) x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Schritt 3.16.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{1 + 2} x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Schritt 3.16.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3 x^{3} x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Schritt 3.16.3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 (x^{1} x) x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Schritt 3.16.3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 (x^{1} x^{1}) x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Schritt 3.16.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{3} x' - 24 x^{1 + 1} x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Schritt 3.16.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 x^{2} x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Schritt 3.16.3.8

Addiere $3 x^{3} x'$ und $x^{3} x'$ .

$4 x^{3} x' - 24 x^{2} x' + x (48 x') - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Schritt 3.16.3.9

Subtrahiere $12 x^{2} x'$ von $- 24 x^{2} x'$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + x (48 x') + 48 x x' - 64 x'$

Schritt 3.16.3.10

Addiere $x (48 x')$ und $48 x x'$ .

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Schritt 3.16.3.10.1

Stelle $x$ und $48$ um.

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 48 \cdot x x' + 48 x x' - 64 x'$

Schritt 3.16.3.10.2

Addiere $48 \cdot x x'$ und $48 x x'$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$ um.

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $4 x'$ aus $4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4 x'$ aus $4 x^{3} x'$ heraus.

$4 x' x^{3} - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $4 x'$ aus $- 36 x^{2} x'$ heraus.

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 96 x x' - 64 x' = 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $4 x'$ aus $96 x x'$ heraus.

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) - 64 x' = 1$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $4 x'$ aus $- 64 x'$ heraus.

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $4 x'$ aus $4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2})$ heraus.

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Schritt 5.2.6

Faktorisiere $4 x'$ aus $4 x' (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 x' (24 x)$ heraus.

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Schritt 5.2.7

Faktorisiere $4 x'$ aus $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 x' \cdot - 16$ heraus.

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$ durch $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$ durch $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)$ .

$\frac{4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$