Algebra Beispiele

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{y} + \ln (x y))$

Schritt 2

Da $z$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $z$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{y} + \ln (x y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{y}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = x$ und $g = y$ ist.

$\frac{d}{d y} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + 1 (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $x^{y}$ mit $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \ln (y)$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 3.3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y x')$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x + y x')$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} x + \frac{1}{x y} (y x')$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x y}$ und $x$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Schritt 3.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Schritt 3.4.2.3

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x y}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y}{x y} x'$

Schritt 3.4.2.4

Kombiniere $\frac{y}{x y}$ und $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

Schritt 3.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

Schritt 3.4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

Schritt 3.4.2.6

Um $x' (y x^{y - 1})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y}{y} + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

Schritt 3.4.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Schritt 3.4.2.8

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Schritt 3.4.2.9

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y^{1}) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Schritt 3.4.2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{1 + 1} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Schritt 3.4.2.11

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Schritt 3.4.2.12

Um $x^{y} \ln (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y}{y} + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Schritt 3.4.2.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Schritt 3.4.2.14

Um $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x}$

Schritt 3.4.2.15

Um $\frac{x'}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 3.4.2.16

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.2.16.1

Mutltipliziere $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 3.4.2.16.2

Mutltipliziere $\frac{x'}{x}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x' y}{x y}$

Schritt 3.4.2.16.3

Stelle die Faktoren von $y x$ um.

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{x y} + \frac{x' y}{x y}$

Schritt 3.4.2.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x + x' y}{x y}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) + y x'}{x y}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache.

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Schritt 3.4.4.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{y}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Bewege $x^{y}$ .

$\frac{x^{y} x (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Mutltipliziere $x^{y}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{y} x^{1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Schritt 3.4.4.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Schritt 3.4.4.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{y - 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.4.2.2.1

Bewege $x^{y - 1}$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Schritt 3.4.4.2.2.2

Mutltipliziere $x^{y - 1}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.4.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x^{1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Schritt 3.4.4.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1 + 1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Schritt 3.4.4.2.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y - 1 + 1$ .

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Schritt 3.4.4.2.2.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y + 0} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Schritt 3.4.4.2.2.3.2

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Schritt 3.4.4.2.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$

Schritt 3.4.5

Stelle die Faktoren in $\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$ um.

$\frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$0 = \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Setze den Zähler gleich Null.

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x' = 0$

Schritt 5.2

Löse die Gleichung nach $x'$ auf.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'$ um.

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x' x^{y} + x + y x' = 0$

Schritt 5.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $y x^{y + 1} \ln (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} x' x^{y} + x + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x)$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} x' x^{y} + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y x'$ aus $y^{2} x' x^{y} + y x'$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $y x'$ aus $y^{2} x' x^{y}$ heraus.

$y x' (y x^{y}) + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $y x'$ aus $y x'$ heraus.

$y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1 = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $y x'$ aus $y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1$ heraus.

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Schritt 5.2.4

Teile jeden Ausdruck in $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ durch $y (y x^{y} + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ durch $y (y x^{y} + 1)$ .

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Schritt 5.2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Schritt 5.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y x^{y} + 1$ .

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Schritt 5.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Schritt 5.2.4.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

Schritt 5.2.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y x^{y + 1} \ln (x)$ heraus.

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

Schritt 5.2.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Schritt 5.2.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)$ heraus.

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Schritt 5.2.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.4.3.5.1

Schreibe $- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ als $- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ um.

$x' = \frac{- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Schritt 5.2.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$