Algebra Beispiele

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} \geq 3$

Schritt 1

Löse $- 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2} + 2 x - 8$ .

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} (x^{2} + 2 x - 8) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Schritt 1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 2 x - 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} (x^{2} + 2 x - 8) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Schritt 1.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Vereinfache $3 (x^{2} + 2 x - 8)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x = 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 8$

Schritt 1.2.2.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$5 x = 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot - 8$

Schritt 1.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$5 x = 3 x^{2} + 6 x - 24$

Schritt 1.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$3 x^{2} + 6 x - 24 = 5 x$

Schritt 1.3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 6 x - 24 - 5 x = 0$

Schritt 1.3.2.2

Subtrahiere $5 x$ von $6 x$ .

$3 x^{2} + x - 24 = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 24 = - 72$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$3 x^{2} + 1 x - 24 = 0$

Schritt 1.3.3.1.2

Schreibe $1$ um als $- 8$ plus $9$

$3 x^{2} + (- 8 + 9) x - 24 = 0$

Schritt 1.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 8 x + 9 x - 24 = 0$

Schritt 1.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 8 x) + 9 x - 24 = 0$

Schritt 1.3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x - 8) + 3 (3 x - 8) = 0$

Schritt 1.3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 8$ .

$(3 x - 8) (x + 3) = 0$

Schritt 1.3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 1.3.5

Setze $3 x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1

Setze $3 x - 8$ gleich $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Schritt 1.3.5.2

Löse $3 x - 8 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 8$

Schritt 1.3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 8$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 8$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Schritt 1.3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Schritt 1.3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Schritt 1.3.6

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 1.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 8) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{8}{3}, - 3$

Schritt 1.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{5 x}{(x - 2) (x + 4)} - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Setze den Nenner in $\frac{5 x}{(x - 2) (x + 4)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Schritt 1.4.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 1.4.2.2

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.4.2.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.4.2.3

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.3.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 1.4.2.3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 1.4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 4$

Schritt 1.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 1.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < \frac{8}{3}$

$x > \frac{8}{3}$

Schritt 1.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 1.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (- 6)}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 8} \geq 3$

Schritt 1.6.1.3

Die linke Seite $- 1.875$ ist kleiner als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3.5$

Schritt 1.6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (- 3.5)}{{(- 3.5)}^{2} + 2 (- 3.5) - 8} \geq 3$

Schritt 1.6.2.3

Die linke Seite $6.\overline{36}$ ist größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.6.3

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.6.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (0)}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 8} \geq 3$

Schritt 1.6.3.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.6.4

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < \frac{8}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < \frac{8}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2.33$

Schritt 1.6.4.2

Ersetze $x$ durch $2.33$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (2.33)}{{(2.33)}^{2} + 2 (2.33) - 8} \geq 3$

Schritt 1.6.4.3

Die linke Seite $5.57709799$ ist größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.6.5

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{8}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{8}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 1.6.5.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (5)}{{(5)}^{2} + 2 (5) - 8} \geq 3$

Schritt 1.6.5.3

Die linke Seite $0.\overline{925}$ ist kleiner als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.6.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 2$ Falsch

$2 < x < \frac{8}{3}$ Wahr

$x > \frac{8}{3}$ Falsch

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 2$ Falsch

$2 < x < \frac{8}{3}$ Wahr

$x > \frac{8}{3}$ Falsch

Schritt 1.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 < x \leq - 3$ oder $2 < x \leq \frac{8}{3}$

Schritt 2

Verwende die Ungleichung $- 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}$ , um die Mengenschreibweise aufzustellen.

${x | - 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}}$

Schritt 3