Algebra Beispiele

$y = - x^{3} (3 x^{4} - 2)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- x^{3} (3 x^{4} - 2))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3} (3 x^{4} - 2)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3} (3 x^{4} - 2)]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3} (3 x^{4} - 2)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 3 x^{4} - 2$ .

$- (x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2] + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- (x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- (x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- (x^{3} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- (x^{3} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (x^{3} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.6

Addiere $12 x^{3}$ und $0$ .

$- (x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$- (x^{3} x^{3} \cdot 12 + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- (x^{3 + 3} \cdot 12 + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.4.3

Addiere $3$ und $3$ .

$- (x^{6} \cdot 12 + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.5

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x^{6}$ .

$- (12 \cdot x^{6} + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (12 x^{6} + (3 x^{4} - 2) (3 x^{2}))$

Schritt 3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $3 x^{4} - 2$ .

$- (12 x^{6} + 3 \cdot (3 x^{4} - 2) x^{2})$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (12 x^{6} + (3 (3 x^{4}) + 3 \cdot - 2) x^{2})$

Schritt 3.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (12 x^{6} + 3 (3 x^{4}) x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{2})$

Schritt 3.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (12 x^{6}) - (3 (3 x^{4}) x^{2}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

Schritt 3.8.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.8.4.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$- 12 x^{6} - (3 (3 x^{4}) x^{2}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

Schritt 3.8.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 12 x^{6} - (9 x^{4} x^{2}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

Schritt 3.8.4.3

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.8.4.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 12 x^{6} - (9 (x^{2} x^{4})) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

Schritt 3.8.4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 12 x^{6} - (9 x^{2 + 4}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

Schritt 3.8.4.3.3

Addiere $2$ und $4$ .

$- 12 x^{6} - (9 x^{6}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

Schritt 3.8.4.4

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} - (3 \cdot - 2 x^{2})$

Schritt 3.8.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} - (- 6 x^{2})$

Schritt 3.8.4.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} + 6 x^{2}$

Schritt 3.8.4.7

Subtrahiere $9 x^{6}$ von $- 12 x^{6}$ .

$- 21 x^{6} + 6 x^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - 21 x^{6} + 6 x^{2}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 21 x^{6} + 6 x^{2}$