Algebra Beispiele

$y = \frac{4 \ln (x + 9)}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 \ln (x + 9)}{x^{2}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 \ln (x + 9)}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 9)}{x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 9)}{x^{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x + 9)$ und $g (x) = x^{2}$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 9)] - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 9)] - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 9)] - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + 9$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 9$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 9$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 9} \frac{d}{d x} [x + 9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{x + 9}$ und $x^{2}$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} \frac{d}{d x} [x + 9] - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} (1 + \frac{d}{d x} [9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.5.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} (1 + 0) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} \cdot 1 - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.5.5.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{x + 9}$ mit $1$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\frac{\frac{x^{2}}{x + 9} - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ mit $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$4 (\frac{x + 9}{x + 9} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

Schritt 3.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.7.1

Kombinieren.

$4 \frac{(x + 9) (\frac{x^{2}}{x + 9} - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 9) x^{4}}$

Schritt 3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \frac{(x + 9) \frac{x^{2}}{x + 9} + (x + 9) (- \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 9) x^{4}}$

Schritt 3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 9$ .

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Schritt 3.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{(x + 9) \frac{x^{2}}{x + 9} + (x + 9) (- \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 9) x^{4}}$

Schritt 3.7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{x^{2} + (x + 9) (- \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 9) x^{4}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + (x + 9) (- \ln (x + 9) (2 x))}{(x + 9) x^{4}}$

Schritt 3.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + (x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x)}{(x + 9) x^{4}}$

Schritt 3.9.2

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{2} + (x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x)}{(x + 9) x^{4}}$ .

$\frac{4 (x^{2} + (x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x))}{(x + 9) x^{4}}$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x))}{(x + 9) x^{4}}$

Schritt 3.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.3.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (x + 9)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 9) (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 4 (x (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x) + 9 (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 9)}^{2}) x) + 9 (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.4

Multipliziere $9 (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x)$ .

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Schritt 3.10.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 9)}^{2}) x) - 9 (\ln ({(x + 9)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.4.2

Stelle $\ln ({(x + 9)}^{2})$ und $- 9$ um.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 9)}^{2}) x) - 9 \cdot \ln ({(x + 9)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.4.3

Vereinfache $- 9 \cdot \ln ({(x + 9)}^{2})$ , indem du $9$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 9)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{9}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.3.1.5.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.3.1.5.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 9)}^{2}) - \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{9}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2}) - \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{9}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 9)}^{2})}^{9}$ .

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Schritt 3.10.3.1.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2}) - \ln ({(x + 9)}^{2 \cdot 9}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2}) - \ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.7

Multipliziere $4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2}))$ .

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Schritt 3.10.3.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 (x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.7.2

Vereinfache $- 4 \ln ({(x + 9)}^{2})$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4})) + 4 (- \ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.8

Multipliziere $4 (- \ln ({(x + 9)}^{18}) x)$ .

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Schritt 3.10.3.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4})) - 4 (\ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.8.2

Stelle $\ln ({(x + 9)}^{18})$ und $- 4$ um.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4})) - 4 \cdot \ln ({(x + 9)}^{18}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.8.3

Vereinfache $- 4 \cdot \ln ({(x + 9)}^{18})$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4})) - \ln ({({(x + 9)}^{18})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.3.1.9.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4}) - \ln ({({(x + 9)}^{18})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.9.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 9)}^{2})}^{4}$ .

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Schritt 3.10.3.1.9.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2 \cdot 4}) - \ln ({({(x + 9)}^{18})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({({(x + 9)}^{18})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.9.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 9)}^{18})}^{4}$ .

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Schritt 3.10.3.1.9.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{18 \cdot 4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.9.3.2

Mutltipliziere $18$ mit $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.3.2

Stelle die Faktoren in $4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}) x$ um.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.4

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 3.10.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{1} x^{4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{1 + 4} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.4.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.5

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})$ heraus.

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Schritt 3.10.5.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (4 x) - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8})$ heraus.

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 9)}^{8})) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.5.3

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln ({(x + 9)}^{72})$ heraus.

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 9)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.5.4

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 9)}^{8}))$ heraus.

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.5.5

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 9)}^{72}))$ heraus.

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.6

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5} + 9 x^{4}$ heraus.

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Schritt 3.10.6.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{4} x + 9 x^{4}}$

Schritt 3.10.6.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $9 x^{4}$ heraus.

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 9}$

Schritt 3.10.6.3

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{4} x + x^{4} \cdot 9$ heraus.

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{4} (x + 9)}$

Schritt 3.10.7

Zerlege $\ln ({(x + 9)}^{8})$ durch Herausziehen von $8$ aus dem Logarithmus.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 9)) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{4} (x + 9)}$

Schritt 3.10.8

Zerlege $\ln ({(x + 9)}^{72})$ durch Herausziehen von $72$ aus dem Logarithmus.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 9)) - (72 \ln (x + 9)))}{x^{4} (x + 9)}$

Schritt 3.10.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.9.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} (x + 9)$ heraus.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 9)) - (72 \ln (x + 9)))}{x (x^{3} (x + 9))}$

Schritt 3.10.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 9)) - (72 \ln (x + 9)))}{x (x^{3} (x + 9))}$

Schritt 3.10.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x - x (8 \ln (x + 9)) - (72 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Schritt 3.10.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.10.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 9) - 1 \cdot 72 \ln (x + 9)}{x^{3} (x + 9)}$

Schritt 3.10.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $72$ .

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 9) - 72 \ln (x + 9)}{x^{3} (x + 9)}$

Schritt 3.10.10.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 8 x \ln (x + 9) - 72 \ln (x + 9)$ heraus.

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Schritt 3.10.10.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{4 (x) - 8 x \ln (x + 9) - 72 \ln (x + 9)}{x^{3} (x + 9)}$

Schritt 3.10.10.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x \ln (x + 9)$ heraus.

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 9)) - 72 \ln (x + 9)}{x^{3} (x + 9)}$

Schritt 3.10.10.3.3

Faktorisiere $4$ aus $- 72 \ln (x + 9)$ heraus.

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 9)) + 4 (- 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Schritt 3.10.10.3.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 9))$ heraus.

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 9)) + 4 (- 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Schritt 3.10.10.3.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x - 2 x \ln (x + 9)) + 4 (- 18 \ln (x + 9))$ heraus.

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 9) - 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{4 (x - 2 x \ln (x + 9) - 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (x - 2 x \ln (x + 9) - 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$