Algebra Beispiele

$x \sin (x) + y^{2} = 4$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x \sin (x) + y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \sin (x) + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x \cos (x) + \sin (x) + 2 y y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$x \cos (x) + 2 y y' + \sin (x)$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x \cos (x) + 2 y y' + \sin (x) = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $x \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' + \sin (x) = - x \cos (x)$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $\sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' = - x \cos (x) - \sin (x)$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = - x \cos (x) - \sin (x)$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = - x \cos (x) - \sin (x)$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- x \cos (x)}{2 y} + \frac{- \sin (x)}{2 y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- x \cos (x)}{2 y} + \frac{- \sin (x)}{2 y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- x \cos (x)}{2 y} + \frac{- \sin (x)}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- x \cos (x)}{2 y} + \frac{- \sin (x)}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- x \cos (x)}{2 y} + \frac{- \sin (x)}{2 y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x \cos (x)}{2 y} + \frac{- \sin (x)}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x \cos (x)}{2 y} - \frac{\sin (x)}{2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \cos (x)}{2 y} - \frac{\sin (x)}{2 y}$