Algebra Beispiele

$s = \sqrt{4 x^{2} + 6 y^{2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x^{2} + 6 y^{2}}$ als ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$s = {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (s) = \frac{d}{d x} ({(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Da $s$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $s$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Schritt 4.6

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Schritt 4.6.2.2

Bringe ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Schritt 4.6.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 6 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Schritt 4.6.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Schritt 4.6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Schritt 4.6.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Schritt 4.6.7

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 y^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 4.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 4.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 4.9

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 y y')$

Schritt 4.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.10.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 y y')$ um.

$(8 x + 12 y y') \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.2

Mutltipliziere $8 x + 12 y y'$ mit $\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x + 12 y y'}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.3

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{2 (4 x) + 12 y y'}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.4

Faktorisiere $2$ aus $12 y y'$ heraus.

$\frac{2 (4 x) + 2 (6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x) + 2 (6 y y')$ heraus.

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.10.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 ({(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.10.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x + 6 y y'}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.7

Faktorisiere $2$ aus $4 x + 6 y y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.10.7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x) + 6 y y'}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.7.2

Faktorisiere $2$ aus $6 y y'$ heraus.

$\frac{2 (2 x) + 2 (3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (3 y y')$ heraus.

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$0 = \frac{2 (2 x + 3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (2 x + 3 y y') = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 x + 3 y y') = 0$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 x + 3 y y') = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.2.1.2.1.2

Dividiere $2 x + 3 y y'$ durch $1$ .

$2 x + 3 y y' = \frac{0}{2}$

Schritt 6.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$2 x + 3 y y' = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y y' = - 2 x$

Schritt 6.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y y' = - 2 x$ durch $3 y$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y y' = - 2 x$ durch $3 y$ .

$\frac{3 y y'}{3 y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y y'}{3 y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Schritt 6.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Schritt 6.2.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 y}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x}{3 y}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3 y}$