Algebra Beispiele

$\ln (x^{2} + y^{2}) = x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ um.

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2 x + 2 y y'$ mit $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 y y'$ heraus.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.5.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y y'$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.5.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (y y')$ heraus.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} = x y' + y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2}) = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2}) = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (x + y y') = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 2 (y y') = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Bewege $y$ .

$2 x + 2 y' y = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Stelle $2 x$ und $2 y' y$ um.

$2 y' y + 2 x = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $(x y' + y) (x^{2} + y^{2})$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $(x y' + y) (x^{2} + y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' y + 2 x = x y' (x^{2} + y^{2}) + y (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' y + 2 x = x y' x^{2} + x y' y^{2} + y (x^{2} + y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' y + 2 x = x y' x^{2} + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 y' y + 2 x = x^{2} x y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{2} x^{1} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 y' y + 2 x = x^{2 + 1} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{1} y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{1 + 2}$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Vereinfache durch Vertauschen.

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Schritt 5.2.2.1.2.2.1

Stelle $x^{3}$ und $y'$ um.

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Schritt 5.2.2.1.2.2.2

Stelle $x$ und $y'$ um.

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + y' x y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Schritt 5.2.2.1.2.2.3

Stelle $y$ und $x^{2}$ um.

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3} = 2 y' y + 2 x$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $2 y' y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3} - 2 y' y = 2 x$

Schritt 5.3.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + y^{3} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y$

Schritt 5.3.3.2

Subtrahiere $y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' y$ heraus.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' x^{3}$ heraus.

$y' (x^{3}) + y' (x) y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Schritt 5.3.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' x y^{2}$ heraus.

$y' (x^{3}) + y' (x y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Schritt 5.3.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y' y$ heraus.

$y' (x^{3}) + y' (x y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Schritt 5.3.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{3}) + y' (x y^{2})$ heraus.

$y' (x^{3} + x y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Schritt 5.3.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{3} + x y^{2}) + y' (- 2 y)$ heraus.

$y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Schritt 5.3.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$ durch $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$ durch $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ .

$\frac{y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y)}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ .

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Schritt 5.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y)}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.5.3.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 5.3.5.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x - x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Schritt 5.3.5.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x - x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$