Algebra Beispiele

$y = \frac{1}{8} x^{2} + 4 x + 20$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\frac{1}{8} x^{2} + 4 x + 20 = y$

Schritt 2

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{8} x^{2} + 4 x = y - 20$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + 4 x = y - 20$

Schritt 3.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{8}$

$b = 4$

$c = 0 = y - 20$

Schritt 3.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 20$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 (\frac{1}{8})}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{1}{8})}$

Schritt 3.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{1}{8})}$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{\frac{1}{8}}$

Schritt 3.4.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 2 \cdot 8$

Schritt 3.4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$d = 16$

Schritt 3.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 3.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{\frac{1}{8}}$

Schritt 3.5.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (4 \cdot 8)$

Schritt 3.5.2.1.3

Multipliziere $- (4 \cdot 8)$ .

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Schritt 3.5.2.1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 32$

Schritt 3.5.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$e = 0 - 32$

Schritt 3.5.2.2

Subtrahiere $32$ von $0$ .

$e = - 32$

Schritt 3.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{8} {(x + 16)}^{2} - 32$ ein.

$\frac{1}{8} \cdot {(x + 16)}^{2} - 32 = y - 20$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $32$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{8} \cdot {(x + 16)}^{2} = y - 20 + 32$

Schritt 4.2

Addiere $- 20$ und $32$ .

$\frac{1}{8} \cdot {(x + 16)}^{2} = y + 12$

Schritt 5

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{8} \cdot {(x + 16)}^{2} = y + 12$ mit $8$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{8} \cdot {(x + 16)}^{2} = y + 12$ mit $8$ .

$\frac{1}{8} \cdot {(x + 16)}^{2} \cdot 8 = y \cdot 8 + 12 \cdot 8$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und ${(x + 16)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 16)}^{2}}{8} \cdot 8 = y \cdot 8 + 12 \cdot 8$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + 16)}^{2}}{8} \cdot 8 = y \cdot 8 + 12 \cdot 8$

Schritt 5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 16)}^{2} = y \cdot 8 + 12 \cdot 8$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $y$ .

${(x + 16)}^{2} = 8 \cdot y + 12 \cdot 8$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $8$ .

${(x + 16)}^{2} = 8 y + 96$

Schritt 6

Faktorisiere $8$ aus $8 y + 96$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $8$ aus $8 y$ heraus.

${(x + 16)}^{2} = 8 (y) + 96$

Schritt 6.2

Faktorisiere $8$ aus $96$ heraus.

${(x + 16)}^{2} = 8 y + 8 \cdot 12$

Schritt 6.3

Faktorisiere $8$ aus $8 y + 8 \cdot 12$ heraus.

${(x + 16)}^{2} = 8 (y + 12)$