Algebra Beispiele

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2}$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2} = y$

Schritt 2

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{2} x^{2} - x = y - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - x = y - \frac{1}{2}$

Schritt 3.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = 0 = y - \frac{1}{2}$

Schritt 3.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y - \frac{1}{2}$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 3.4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.4.2.3

Dividiere $2$ durch $2$ .

$d = \frac{1}{1}$

Schritt 3.4.2.4

Dividiere $1$ durch $1$ .

$d = 1$

Schritt 3.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{1}{\frac{- 4}{2}}$

Schritt 3.5.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 2}$

Schritt 3.5.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 0 - - \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.1.5

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.5.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{1}{2}$

Schritt 3.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} + \frac{1}{2}$ ein.

$- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} + \frac{1}{2} = y - \frac{1}{2}$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} = y - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} = y + \frac{- 1 - 1}{2}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} = y + \frac{- 2}{2}$

Schritt 4.4

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} = y - 1$

Schritt 5

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} = y - 1$ mit $- 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} = y - 1$ mit $- 2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} \cdot - 2 = y \cdot - 2 - - 2$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere ${(x + 1)}^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{2}}{2} \cdot - 2 = y \cdot - 2 - - 2$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{(x + 1)}^{2}}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- {(x + 1)}^{2}}{2} \cdot - 2 = y \cdot - 2 - - 2$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{- {(x + 1)}^{2}}{2} \cdot (2 (- 1)) = y \cdot - 2 - - 2$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- {(x + 1)}^{2}}{2} \cdot (2 \cdot - 1) = y \cdot - 2 - - 2$

Schritt 5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- {(x + 1)}^{2} \cdot - 1 = y \cdot - 2 - - 2$

Schritt 5.2.3

Multipliziere.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 {(x + 1)}^{2} = y \cdot - 2 - - 2$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit $1$ .

${(x + 1)}^{2} = y \cdot - 2 - - 2$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

${(x + 1)}^{2} = - 2 \cdot y - - 2$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

${(x + 1)}^{2} = - 2 y + 2$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y + 2$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

${(x + 1)}^{2} = 2 (- y) + 2$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

${(x + 1)}^{2} = 2 (- y) + 2 (1)$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- y) + 2 (1)$ heraus.

${(x + 1)}^{2} = 2 (- y + 1)$

Schritt 6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

${(x + 1)}^{2} = 2 (- (y) + 1)$

Schritt 6.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

${(x + 1)}^{2} = 2 (- (y) - 1 (- 1))$

Schritt 6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 1)$ heraus.

${(x + 1)}^{2} = 2 (- (y - 1))$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

${(x + 1)}^{2} = - 2 (y - 1)$