Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 8 x + 11$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 8 x + 11$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{16} x^{2} - 8 x + 11$

Schritt 2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\frac{1}{16} x^{2} - 8 x + 11 = y$

Schritt 3

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{16} x^{2} - 8 x = y - 11$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{16}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{16} - 8 x = y - 11$

Schritt 4.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{16}$

$b = - 8$

$c = 0 = y - 11$

Schritt 4.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 11$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 8}{2 (\frac{1}{16})}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (\frac{1}{16})}$

Schritt 4.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (\frac{1}{16})}$

Schritt 4.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{\frac{1}{16}}$

Schritt 4.4.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - 4 \cdot 16$

Schritt 4.4.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$d = - 64$

Schritt 4.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 4.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{16}$ .

$e = 0 - \frac{64}{\frac{4}{16}}$

Schritt 4.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 4.5.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = 0 - \frac{64}{\frac{4 (1)}{16}}$

Schritt 4.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$e = 0 - \frac{64}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Schritt 4.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{64}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Schritt 4.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{64}{\frac{1}{4}}$

Schritt 4.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (64 \cdot 4)$

Schritt 4.5.2.1.5

Multipliziere $- (64 \cdot 4)$ .

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Schritt 4.5.2.1.5.1

Mutltipliziere $64$ mit $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 256$

Schritt 4.5.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $256$ .

$e = 0 - 256$

Schritt 4.5.2.2

Subtrahiere $256$ von $0$ .

$e = - 256$

Schritt 4.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{16} {(x - 64)}^{2} - 256$ ein.

$\frac{1}{16} \cdot {(x - 64)}^{2} - 256 = y - 11$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $256$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{16} \cdot {(x - 64)}^{2} = y - 11 + 256$

Schritt 5.2

Addiere $- 11$ und $256$ .

$\frac{1}{16} \cdot {(x - 64)}^{2} = y + 245$

Schritt 6

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{16} \cdot {(x - 64)}^{2} = y + 245$ mit $16$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{16} \cdot {(x - 64)}^{2} = y + 245$ mit $16$ .

$\frac{1}{16} \cdot {(x - 64)}^{2} \cdot 16 = y \cdot 16 + 245 \cdot 16$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{16}$ und ${(x - 64)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 64)}^{2}}{16} \cdot 16 = y \cdot 16 + 245 \cdot 16$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - 64)}^{2}}{16} \cdot 16 = y \cdot 16 + 245 \cdot 16$

Schritt 6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 64)}^{2} = y \cdot 16 + 245 \cdot 16$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Bringe $16$ auf die linke Seite von $y$ .

${(x - 64)}^{2} = 16 \cdot y + 245 \cdot 16$

Schritt 6.3.1.2

Mutltipliziere $245$ mit $16$ .

${(x - 64)}^{2} = 16 y + 3920$

Schritt 7

Faktorisiere $16$ aus $16 y + 3920$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $16$ aus $16 y$ heraus.

${(x - 64)}^{2} = 16 (y) + 3920$

Schritt 7.2

Faktorisiere $16$ aus $3920$ heraus.

${(x - 64)}^{2} = 16 y + 16 \cdot 245$

Schritt 7.3

Faktorisiere $16$ aus $16 y + 16 \cdot 245$ heraus.

${(x - 64)}^{2} = 16 (y + 245)$