Algebra Beispiele

${(x - 3 i)}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(- 3 i)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(- 3 i)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(- 3 i)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(- 3 i)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- 3 i)}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 3 i)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 3 i)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x)}^{3}$ mit $1$ .

${(x)}^{3} \cdot {(- 3 i)}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 3 i)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 3 i)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $- 3 i$ an.

$x^{3} \cdot ({(- 3)}^{0} i^{0}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 3 i)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 3 i)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{3} \cdot (1 i^{0}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 3 i)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 3 i)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $i^{0}$ mit $1$ .

$x^{3} \cdot i^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 3 i)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 3 i)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 3 i)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 3 i)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 3 i)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 3 i)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.7

Vereinfache.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot (- 3 i) + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 3 i)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$x^{3} - 9 x^{2} i + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 3 i)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.9

Vereinfache.

$x^{3} - 9 x^{2} i + 3 \cdot x \cdot {(- 3 i)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $- 3 i$ an.

$x^{3} - 9 x^{2} i + 3 x \cdot ({(- 3)}^{2} i^{2}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.11

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x^{3} - 9 x^{2} i + 3 x \cdot (9 i^{2}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.12

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x^{3} - 9 x^{2} i + 3 x \cdot (9 \cdot - 1) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} i + 3 x \cdot - 9 + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$x^{3} - 9 x^{2} i - 27 x + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere ${(x)}^{0}$ mit $1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} i - 27 x + {(x)}^{0} \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.16

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} i - 27 x + 1 \cdot {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere ${(- 3 i)}^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} i - 27 x + {(- 3 i)}^{3}$

Schritt 4.18

Wende die Produktregel auf $- 3 i$ an.

$x^{3} - 9 x^{2} i - 27 x + {(- 3)}^{3} i^{3}$

Schritt 4.19

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$x^{3} - 9 x^{2} i - 27 x - 27 i^{3}$

Schritt 4.20

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$x^{3} - 9 x^{2} i - 27 x - 27 (i^{2} \cdot i)$

Schritt 4.21

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x^{3} - 9 x^{2} i - 27 x - 27 (- 1 \cdot i)$

Schritt 4.22

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$x^{3} - 9 x^{2} i - 27 x - 27 (- i)$

Schritt 4.23

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 27$ .

$x^{3} - 9 x^{2} i - 27 x + 27 i$