Algebra Beispiele

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$0$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 0$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Schritt 4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 2 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 + 0 - 3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Schritt 4.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 - 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 - 6 \cdot 0$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 5

Da $0$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 0$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x}{x + 0}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(2)$ .

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$
	$1$	$2$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$2$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$2$	$- 3$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 6)$ .

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$2$	$- 3$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 6)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (- 3) x - 6$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 6$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 0) (x^{3} + 2 x^{2}) - 3 x - 6$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 0) + x^{2} (x + 2) - 3 (x + 2)$

$(x + 0) x^{2} (x + 2) - 3 (x + 2)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$(x + 0) (x + 2) (x^{2} - 3)$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$x \cdot x^{3} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) - 3 x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x (- 3 x) - 6 x = 0$

Schritt 9.1.4

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot - 6 = 0$

Schritt 9.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x (2 x^{2})$ heraus.

$x (x^{3} + 2 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot - 6 = 0$

Schritt 9.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} + 2 x^{2}) + x (- 3 x)$ heraus.

$x (x^{3} + 2 x^{2} - 3 x) + x \cdot - 6 = 0$

Schritt 9.1.7

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} + 2 x^{2} - 3 x) + x \cdot - 6$ heraus.

$x (x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 6) = 0$

Schritt 9.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((x^{3} + 2 x^{2}) - 3 x - 6) = 0$

Schritt 9.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x^{2} (x + 2) - 3 (x + 2)) = 0$

Schritt 9.3

Faktorisiere.

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$x ((x + 2) (x^{2} - 3)) = 0$

Schritt 9.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x^{2} - 3) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 11

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 12

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 13

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 13.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 13.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 13.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 13.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 13.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 2) (x^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, - 2, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$x = 0, - 2, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$

Schritt 16