Algebra Beispiele

$y = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ nicht definiert ist.

$x < 0, x = \sqrt{5}$

Schritt 2

Da $\frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $\sqrt{5}$ von links und $\frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $\sqrt{5}$ von rechts, dann ist $x = \sqrt{5}$ eine vertikale Asymptote.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 10}{x^{2}}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{4}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{4}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^{3}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Schritt 3.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}$

Schritt 3.4.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{0}}{2 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}$

Schritt 3.4.3

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{0}}{2 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 3.5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{2 - 10 \cdot 0}$

Schritt 3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{2 - 10 \cdot 0}$

Schritt 3.6.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{2 - 10 \cdot 0}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.2.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $0$ .

$\frac{0}{2 + 0}$

Schritt 3.6.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{0}{2}$

Schritt 3.6.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 0$

Schritt 5

Wende die Polynomdivision an, um die schiefen Asymptoten zu ermitteln. Weil dieser Ausdruck eine Wurzel enthält, kann Polynomdivision nicht durchgeführt werden.

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = \sqrt{5}$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 7