Algebra Beispiele

$144 x^{2} + 144 y^{2} + 72 x + 192 y + 37 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $37$ von beiden Seiten der Gleichung.

$144 x^{2} + 144 y^{2} + 72 x + 192 y = - 37$

Schritt 2

Teile beide Seiten der Gleichung durch $144$ .

$x^{2} + y^{2} + \frac{x}{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144}$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + \frac{x}{2}$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Schritt 3.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 3.4.2.1.4

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 3.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{16}$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{16}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{16}$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ ein.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

Schritt 4

Setze ${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ für $x^{2} + \frac{x}{2}$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + \frac{x}{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + y^{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144}$

Schritt 5

Bringe $- \frac{1}{16}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{16}$ auf beiden Seiten.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + y^{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144} + \frac{1}{16}$

Schritt 6

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + \frac{4 y}{3}$ an.

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Schritt 6.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = \frac{4}{3}$

$c = 0$

Schritt 6.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 6.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 6.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

Schritt 6.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{3}$

Schritt 6.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 6.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(\frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$e = 0 - \frac{\frac{4^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4}$

Schritt 6.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 6.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.4.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 6.4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 6.4.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{9}$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $\frac{4}{9}$ von $0$ .

$e = - \frac{4}{9}$

Schritt 6.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ ein.

${(y + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$

Schritt 7

Setze ${(y + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ für $y^{2} + \frac{4 y}{3}$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + \frac{x}{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9} = - \frac{37}{144} + \frac{1}{16}$

Schritt 8

Bringe $- \frac{4}{9}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{4}{9}$ auf beiden Seiten.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{1}{16} + \frac{4}{9}$

Schritt 9

Vereinfache $- \frac{37}{144} + \frac{1}{16} + \frac{4}{9}$ .

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Schritt 9.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{16 \cdot 9} + \frac{4}{9}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{16 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{16 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 16}$

Schritt 9.1.5

Stelle die Faktoren von $16 \cdot 9$ um.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{9 \cdot 16} + \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 16}$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{144} + \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 16}$

Schritt 9.1.7

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{144} + \frac{4 \cdot 16}{144}$

Schritt 9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{- 37 + 9 + 4 \cdot 16}{144}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{- 37 + 9 + 64}{144}$

Schritt 9.3.2

Addiere $- 37$ und $9$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{- 28 + 64}{144}$

Schritt 9.3.3

Addiere $- 28$ und $64$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{36}{144}$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $144$ .

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $36$ aus $36$ heraus.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{36 (1)}{144}$

Schritt 9.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.2.1

Faktorisiere $36$ aus $144$ heraus.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Schritt 9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Schritt 9.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{1}{4}$