Algebra Beispiele

$x^{4} + 41 x^{2} + 400$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} + 41 x^{2} + 400$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$u^{2} + 41 u + 400$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} + 41 u + 400$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $400$ und deren Summe $41$ ist.

$16, 25$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u + 16) (u + 25)$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} + 16) (x^{2} + 25)$

Schritt 5

Faktorisiere die komplexen Zahlen.

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Schritt 5.1

Multipliziere die Konstante im Polynom $x^{2} + 16$ mit $- i^{2}$ , wobei $i^{2}$ gleich $- 1$ ist.

$(x^{2} - 16 i^{2}) (x^{2} + 25)$

Schritt 5.2

Multipliziere die Konstante im Polynom $x^{2} + 25$ mit $- i^{2}$ , wobei $i^{2}$ gleich $- 1$ ist.

$(x^{2} - 16 i^{2}) (x^{2} - 25 i^{2})$

Schritt 5.3

Schreibe $16 i^{2}$ als ${(4 i)}^{2}$ um.

$(x^{2} - {(4 i)}^{2}) (x^{2} - 25 i^{2})$

Schritt 5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x$ und $i = 4 i$ .

$(x + 4 i) (x - (4 i)) (x^{2} - 25 i^{2})$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(x + 4 i) (x - 4 i) (x^{2} - 25 i^{2})$

Schritt 5.6

Schreibe $25 i^{2}$ als ${(5 i)}^{2}$ um.

$(x + 4 i) (x - 4 i) (x^{2} - {(5 i)}^{2})$

Schritt 5.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x$ und $i = 5 i$ .

$(x + 4 i) (x - 4 i) ((x + 5 i) (x - (5 i)))$

Schritt 5.8

Faktorisiere.

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Schritt 5.8.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$(x + 4 i) (x - 4 i) ((x + 5 i) (x - 5 i))$

Schritt 5.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 4 i) (x - 4 i) (x + 5 i) (x - 5 i)$