Algebra Beispiele

$(- 3, 0)$ , $(- 1, 4)$ , $(1, 0)$

Schritt 1

Benutze die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung $y = a x^{2} + b x + c$ als den Ausgangspunkt zum Auffinden der Gleichung durch die drei Punkte.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 2

Erzeuge ein System von Gleichungen durch Einsetzen der $x$ - und $y$ -Werte jedes Punkts in die Standardformel einer quadratischen Gleichung, um das System mit drei Gleichungen zu bilden.

$0 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c, 4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c, 0 = a {(1)}^{2} + b (1) + c$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Löse in $0 = a + b + c$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $a + b + c = 0$ um.

$a + b + c = 0$

$0 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.2.1

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a + c = - b$

$0 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.1.2.2

Subtrahiere $c$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - b - c$

$0 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$a = - b - c$

$0 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$a = - b - c$

$0 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $- b - c$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $a$ in $0 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$ durch $- b - c$ .

$0 = (- b - c) {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $(- b - c) {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$0 = (- b - c) \cdot 9 + b (- 3) + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$0 = - b \cdot 9 - c \cdot 9 + b (- 3) + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$0 = - 9 b - c \cdot 9 + b (- 3) + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$0 = - 9 b - 9 c + b (- 3) + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.2.1.1.5

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $b$ .

$0 = - 9 b - 9 c - 3 b + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$0 = - 9 b - 9 c - 3 b + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Subtrahiere $3 b$ von $- 9 b$ .

$0 = - 12 b - 9 c + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Addiere $- 9 c$ und $c$ .

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $a$ in $4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ durch $- b - c$ .

$4 = (- b - c) {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache $(- b - c) {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ .

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Schritt 3.2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 = (- b - c) \cdot 1 + b (- 1) + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Schritt 3.2.4.1.1.2

Mutltipliziere $- b - c$ mit $1$ .

$4 = - b - c + b (- 1) + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Schritt 3.2.4.1.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b$ .

$4 = - b - c - 1 b + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Schritt 3.2.4.1.1.4

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$4 = - b - c - b + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = - b - c - b + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Schritt 3.2.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.4.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- b - c - b + c$ .

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Schritt 3.2.4.1.2.1.1

Addiere $- c$ und $c$ .

$4 = - b - b + 0$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Schritt 3.2.4.1.2.1.2

Addiere $- b - b$ und $0$ .

$4 = - b - b$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = - b - b$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Schritt 3.2.4.1.2.2

Subtrahiere $b$ von $- b$ .

$4 = - 2 b$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = - 2 b$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = - 2 b$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = - 2 b$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = - 2 b$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Schritt 3.3

Löse in $4 = - 2 b$ nach $b$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 b = 4$ um.

$- 2 b = 4$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 b = 4$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 b = 4$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{4}{- 2}$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{4}{- 2}$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{4}{- 2}$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$b = \frac{4}{- 2}$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$b = \frac{4}{- 2}$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Dividiere $4$ durch $- 2$ .

$b = - 2$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$b = - 2$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$b = - 2$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$b = - 2$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $- 2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $b$ in $0 = - 12 b - 8 c$ durch $- 2$ .

$0 = - 12 \cdot - 2 - 8 c$

$b = - 2$

$a = - b - c$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$0 = 24 - 8 c$

$b = - 2$

$a = - b - c$

$0 = 24 - 8 c$

$b = - 2$

$a = - b - c$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $b$ in $a = - b - c$ durch $- 2$ .

$a = - (- 2) - c$

$0 = 24 - 8 c$

$b = - 2$

Schritt 3.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$a = 2 - c$

$0 = 24 - 8 c$

$b = - 2$

$a = 2 - c$

$0 = 24 - 8 c$

$b = - 2$

$a = 2 - c$

$0 = 24 - 8 c$

$b = - 2$

Schritt 3.5

Löse in $0 = 24 - 8 c$ nach $c$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $24 - 8 c = 0$ um.

$24 - 8 c = 0$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 c = - 24$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 8 c = - 24$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 c = - 24$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 c}{- 8} = \frac{- 24}{- 8}$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 c}{- 8} = \frac{- 24}{- 8}$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{- 24}{- 8}$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

$c = \frac{- 24}{- 8}$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

$c = \frac{- 24}{- 8}$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Dividiere $- 24$ durch $- 8$ .

$c = 3$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

$c = 3$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

$c = 3$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

$c = 3$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von $c$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Ersetze alle $c$ in $a = 2 - c$ durch $3$ .

$a = 2 - (3)$

$c = 3$

$b = - 2$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache $2 - (3)$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$a = 2 - 3$

$c = 3$

$b = - 2$

Schritt 3.6.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$a = - 1$

$c = 3$

$b = - 2$

$a = - 1$

$c = 3$

$b = - 2$

$a = - 1$

$c = 3$

$b = - 2$

$a = - 1$

$c = 3$

$b = - 2$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$a = - 1, c = 3, b = - 2$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ , $b$ und $c$ in die Formel für eine quadratische Gleichung ein, um die resultierende Gleichung zu ermitteln.

$y = - x^{2} - 2 x + 3$

Schritt 5