Algebra Beispiele

$f (x) = - x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} + 729 x^{2}$

Schritt 1

Setze $- x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} + 729 x^{2}$ gleich $0$ .

$- x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} + 729 x^{2} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} + 729 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{5}$ heraus.

$x^{2} (- x^{3}) - 9 x^{4} + 81 x^{3} + 729 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 9 x^{4}$ heraus.

$x^{2} (- x^{3}) + x^{2} (- 9 x^{2}) + 81 x^{3} + 729 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $81 x^{3}$ heraus.

$x^{2} (- x^{3}) + x^{2} (- 9 x^{2}) + x^{2} (81 x) + 729 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $729 x^{2}$ heraus.

$x^{2} (- x^{3}) + x^{2} (- 9 x^{2}) + x^{2} (81 x) + x^{2} \cdot 729 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (- x^{3}) + x^{2} (- 9 x^{2})$ heraus.

$x^{2} (- x^{3} - 9 x^{2}) + x^{2} (81 x) + x^{2} \cdot 729 = 0$

Schritt 2.1.1.6

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (- x^{3} - 9 x^{2}) + x^{2} (81 x)$ heraus.

$x^{2} (- x^{3} - 9 x^{2} + 81 x) + x^{2} \cdot 729 = 0$

Schritt 2.1.1.7

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (- x^{3} - 9 x^{2} + 81 x) + x^{2} \cdot 729$ heraus.

$x^{2} (- x^{3} - 9 x^{2} + 81 x + 729) = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{2} ((- x^{3} - 9 x^{2}) + 81 x + 729) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x^{2} (- x - 9) - 81 (- x - 9)) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 9$ .

$x^{2} ((- x - 9) (x^{2} - 81)) = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x^{2} ((- x - 9) (x^{2} - 9^{2})) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 9$ .

$x^{2} ((- x - 9) ((x + 9) (x - 9))) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} ((- x - 9) (x + 9) (x - 9)) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.6.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.1.6.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$x^{2} ((- (x) - 9) (x + 9) (x - 9)) = 0$

Schritt 2.1.6.1.2

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x^{2} ((- (x) - 1 \cdot 9) (x + 9) (x - 9)) = 0$

Schritt 2.1.6.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (9)$ heraus.

$x^{2} (- (x + 9) (x + 9) (x - 9)) = 0$

Schritt 2.1.6.1.4

Schreibe $- (x + 9)$ als $- 1 (x + 9)$ um.

$x^{2} (- 1 (x + 9) (x + 9) (x - 9)) = 0$

Schritt 2.1.6.1.5

Potenziere $x + 9$ mit $1$ .

$x^{2} (- 1 ((x + 9) (x + 9)) (x - 9)) = 0$

Schritt 2.1.6.1.6

Potenziere $x + 9$ mit $1$ .

$x^{2} (- 1 ((x + 9) (x + 9)) (x - 9)) = 0$

Schritt 2.1.6.1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} (- 1 {(x + 9)}^{1 + 1} (x - 9)) = 0$

Schritt 2.1.6.1.8

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} (- 1 {(x + 9)}^{2} (x - 9)) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} \cdot (- 1 {(x + 9)}^{2} (x - 9)) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- (x^{2} {(x + 9)}^{2} (x - 9)) = 0$

Schritt 2.1.8

Entferne unnötige Klammern.

$- x^{2} {(x + 9)}^{2} (x - 9) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 9)}^{2} = 0$

$x - 9 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(x + 9)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x + 9)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 9)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x + 9)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 2.5

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x^{2} {(x + 9)}^{2} (x - 9) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = 0$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = - 9$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = 9$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 0$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = - 9$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = 9$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3