Algebra Beispiele

$x {(30 - 2 x)}^{2}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(30 - 2 x)}^{2}$ als $(30 - 2 x) (30 - 2 x)$ um.

$\frac{d}{d x} [x ((30 - 2 x) (30 - 2 x))]$

Schritt 1.2

Multipliziere $(30 - 2 x) (30 - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (30 (30 - 2 x) - 2 x (30 - 2 x))]$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (30 \cdot 30 + 30 (- 2 x) - 2 x (30 - 2 x))]$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (30 \cdot 30 + 30 (- 2 x) - 2 x \cdot 30 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $30$ mit $30$ .

$\frac{d}{d x} [x (900 + 30 (- 2 x) - 2 x \cdot 30 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $30$ .

$\frac{d}{d x} [x (900 - 60 x - 2 x \cdot 30 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $30$ mit $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (900 - 60 x - 60 x - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [x (900 - 60 x - 60 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Schritt 1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (900 - 60 x - 60 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Schritt 1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (900 - 60 x - 60 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (900 - 60 x - 60 x + 4 x^{2})]$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $60 x$ von $- 60 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (900 - 120 x + 4 x^{2})]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 900 - 120 x + 4 x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [900 - 120 x + 4 x^{2}] + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5

Differenziere.

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Schritt 1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $900 - 120 x + 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5.2

Da $900$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $900$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 120 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5.4

Da $- 120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 120 x$ nach $x$ gleich $- 120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5.6

Mutltipliziere $- 120$ mit $1$ .

$x (- 120 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- 120 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (- 120 + 4 (2 x)) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5.9

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x (- 120 + 8 x) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 120 + 8 x) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

Schritt 1.5.11

Mutltipliziere $900 - 120 x + 4 x^{2}$ mit $1$ .

$x (- 120 + 8 x) + 900 - 120 x + 4 x^{2}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot - 120 + x (8 x) + 900 - 120 x + 4 x^{2}$

Schritt 1.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.6.2.1

Bringe $- 120$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 120 \cdot x + x (8 x) + 900 - 120 x + 4 x^{2}$

Schritt 1.6.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 120 x + 8 (x^{1} x) + 900 - 120 x + 4 x^{2}$

Schritt 1.6.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 120 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 900 - 120 x + 4 x^{2}$

Schritt 1.6.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 120 x + 8 x^{1 + 1} + 900 - 120 x + 4 x^{2}$

Schritt 1.6.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 120 x + 8 x^{2} + 900 - 120 x + 4 x^{2}$

Schritt 1.6.2.6

Subtrahiere $120 x$ von $- 120 x$ .

$- 240 x + 8 x^{2} + 900 + 4 x^{2}$

Schritt 1.6.2.7

Addiere $8 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$- 240 x + 12 x^{2} + 900$

Schritt 1.6.3

Stelle die Terme um.

$12 x^{2} - 240 x + 900$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{2} - 240 x + 900$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [900]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (900)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (900)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (900)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (900)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 240 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 240$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 240 x$ nach $x$ gleich $- 240 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x - 240 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (900)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x - 240 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (900)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 240$ mit $1$ .

$f'' (x) = 24 x - 240 + \frac{d}{d x} (900)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $900$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $900$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 240 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $24 x - 240$ und $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 240$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$12 x^{2} - 240 x + 900 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Schreibe ${(30 - 2 x)}^{2}$ als $(30 - 2 x) (30 - 2 x)$ um.

$\frac{d}{d x} [x ((30 - 2 x) (30 - 2 x))]$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $(30 - 2 x) (30 - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (30 (30 - 2 x) - 2 x (30 - 2 x))]$

Schritt 4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (30 \cdot 30 + 30 (- 2 x) - 2 x (30 - 2 x))]$

Schritt 4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (30 \cdot 30 + 30 (- 2 x) - 2 x \cdot 30 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.1.1

Mutltipliziere $30$ mit $30$ .

$\frac{d}{d x} [x (900 + 30 (- 2 x) - 2 x \cdot 30 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 4.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $30$ .

$\frac{d}{d x} [x (900 - 60 x - 2 x \cdot 30 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 4.1.3.1.3

Mutltipliziere $30$ mit $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (900 - 60 x - 60 x - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 4.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [x (900 - 60 x - 60 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Schritt 4.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (900 - 60 x - 60 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Schritt 4.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (900 - 60 x - 60 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Schritt 4.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (900 - 60 x - 60 x + 4 x^{2})]$

Schritt 4.1.3.2

Subtrahiere $60 x$ von $- 60 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (900 - 120 x + 4 x^{2})]$

Schritt 4.1.4

$x \frac{d}{d x} [900 - 120 x + 4 x^{2}] + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.5

Differenziere.

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Schritt 4.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $900 - 120 x + 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.5.2

Da $900$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $900$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 120 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.5.4

Da $- 120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 120 x$ nach $x$ gleich $- 120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.5.6

Mutltipliziere $- 120$ mit $1$ .

$x (- 120 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.5.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- 120 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (- 120 + 4 (2 x)) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.5.9

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x (- 120 + 8 x) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.5.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 120 + 8 x) + (900 - 120 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

Schritt 4.1.5.11

Mutltipliziere $900 - 120 x + 4 x^{2}$ mit $1$ .

$x (- 120 + 8 x) + 900 - 120 x + 4 x^{2}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot - 120 + x (8 x) + 900 - 120 x + 4 x^{2}$

Schritt 4.1.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.6.2.1

Bringe $- 120$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 120 \cdot x + x (8 x) + 900 - 120 x + 4 x^{2}$

Schritt 4.1.6.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 120 x + 8 (x^{1} x) + 900 - 120 x + 4 x^{2}$

Schritt 4.1.6.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 120 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 900 - 120 x + 4 x^{2}$

Schritt 4.1.6.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 120 x + 8 x^{1 + 1} + 900 - 120 x + 4 x^{2}$

Schritt 4.1.6.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 120 x + 8 x^{2} + 900 - 120 x + 4 x^{2}$

Schritt 4.1.6.2.6

Subtrahiere $120 x$ von $- 120 x$ .

$- 240 x + 8 x^{2} + 900 + 4 x^{2}$

Schritt 4.1.6.2.7

Addiere $8 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$- 240 x + 12 x^{2} + 900$

Schritt 4.1.6.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 12 x^{2} - 240 x + 900$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 240 x + 900$ .

$12 x^{2} - 240 x + 900$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 240 x + 900 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 240 x + 900 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2} - 240 x + 900$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$12 (x^{2}) - 240 x + 900 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $12$ aus $- 240 x$ heraus.

$12 (x^{2}) + 12 (- 20 x) + 900 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $12$ aus $900$ heraus.

$12 x^{2} + 12 (- 20 x) + 12 \cdot 75 = 0$

Schritt 5.2.1.4

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2} + 12 (- 20 x)$ heraus.

$12 (x^{2} - 20 x) + 12 \cdot 75 = 0$

Schritt 5.2.1.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (x^{2} - 20 x) + 12 \cdot 75$ heraus.

$12 (x^{2} - 20 x + 75) = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 20 x + 75$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $75$ und deren Summe $- 20$ ist.

$- 15, - 5$

Schritt 5.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$12 ((x - 15) (x - 5)) = 0$

Schritt 5.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$12 (x - 15) (x - 5) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 15 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 5.4

Setze $x - 15$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $x - 15$ gleich $0$ .

$x - 15 = 0$

Schritt 5.4.2

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 15$

Schritt 5.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 5.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 (x - 15) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 15, 5$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 15, 5$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 15$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$24 (15) - 240$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $24$ mit $15$ .

$360 - 240$

Schritt 9.2

Subtrahiere $240$ von $360$ .

$120$

Schritt 10

$x = 15$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 15$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 15$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $15$ .

$f (15) = (15) {(30 - 2 \cdot 15)}^{2}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $15$ .

$f (15) = 15 {(30 - 30)}^{2}$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $30$ von $30$ .

$f (15) = 15 \cdot 0^{2}$

Schritt 11.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (15) = 15 \cdot 0$

Schritt 11.2.4

Mutltipliziere $15$ mit $0$ .

$f (15) = 0$

Schritt 11.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 5$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$24 (5) - 240$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $24$ mit $5$ .

$120 - 240$

Schritt 13.2

Subtrahiere $240$ von $120$ .

$- 120$

Schritt 14

$x = 5$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 5$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 5$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = (5) {(30 - 2 \cdot 5)}^{2}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$f (5) = 5 {(30 - 10)}^{2}$

Schritt 15.2.2

Subtrahiere $10$ von $30$ .

$f (5) = 5 \cdot 20^{2}$

Schritt 15.2.3

Potenziere $20$ mit $2$ .

$f (5) = 5 \cdot 400$

Schritt 15.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $400$ .

$f (5) = 2000$

Schritt 15.2.5

Die endgültige Lösung ist $2000$ .

$y = 2000$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x {(30 - 2 x)}^{2}$ .

$(15, 0)$ ist ein lokales Minimum

$(5, 2000)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17