Algebra Beispiele

$x^{7} - 25 x^{5} = 0$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$0$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(0)}^{7} - 25 {(0)}^{5}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 0$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 25 {(0)}^{5}$

Schritt 4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 25 \cdot 0$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 25$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 5

Da $0$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 0$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{7} - 25 x^{5}}{x + 0}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 25)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 25)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$

Schritt 6.12

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$

Schritt 6.13

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$

Schritt 6.14

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$

Schritt 6.15

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$

Schritt 6.16

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Schritt 6.17

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{6} + 0 x^{5} - 25 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + 0 x + 0$

Schritt 6.18

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{6} - 25 x^{4}$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{6} - 25 x^{4}$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{6}$ heraus.

$(x + 0) (x^{4} x^{2} - 25 x^{4})$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $- 25 x^{4}$ heraus.

$(x + 0) (x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 25)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 25$ heraus.

$(x + 0) (x^{4} (x^{2} - 25))$

Schritt 8

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(x + 0) (x^{4} (x^{2} - 5^{2}))$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$(x + 0) (x^{4} ((x + 5) (x - 5)))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 0) (x^{4} (x + 5) (x - 5))$

Schritt 10

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus $x^{7} - 25 x^{5}$ heraus.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus $x^{7}$ heraus.

$x^{5} x^{2} - 25 x^{5} = 0$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $x^{5}$ aus $- 25 x^{5}$ heraus.

$x^{5} x^{2} + x^{5} \cdot - 25 = 0$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $x^{5}$ aus $x^{5} x^{2} + x^{5} \cdot - 25$ heraus.

$x^{5} (x^{2} - 25) = 0$

Schritt 10.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x^{5} (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Schritt 10.3

Faktorisiere.

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Schritt 10.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$x^{5} ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 10.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{5} (x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{5} = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 12

Setze $x^{5}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x^{5}$ gleich $0$ .

$x^{5} = 0$

Schritt 12.2

Löse $x^{5} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Schritt 12.2.2

Vereinfache $\sqrt[5]{0}$ .

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Schritt 12.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Schritt 12.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 13

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 14

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{5} (x + 5) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 5, 5$

Schritt 16