Algebra Beispiele

$y = 64 {(x - 2)}^{3} - 1$

Schritt 1

Vereinfache $64 {(x - 2)}^{3} - 1$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = 64 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1$

Schritt 1.1.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}) - 1$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}) - 1$

Schritt 1.1.2.4

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) - 1$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 64 x^{3} + 64 (- 6 x^{2}) + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $64$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1$

Schritt 1.1.4.2

Mutltipliziere $12$ mit $64$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x + 64 \cdot - 8 - 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $64$ mit $- 8$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 512 - 1$

Schritt 1.2

Subtrahiere $1$ von $- 512$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513$

Schritt 2

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 19, \pm 27, \pm 57, \pm 171, \pm 513$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

Schritt 3

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{16}, \pm \frac{1}{32}, \pm \frac{1}{64}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{8}, \pm \frac{3}{16}, \pm \frac{3}{32}, \pm \frac{3}{64}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{9}{8}, \pm \frac{9}{16}, \pm \frac{9}{32}, \pm \frac{9}{64}, \pm 19, \pm \frac{19}{2}, \pm \frac{19}{4}, \pm \frac{19}{8}, \pm \frac{19}{16}, \pm \frac{19}{32}, \pm \frac{19}{64}, \pm 27, \pm \frac{27}{2}, \pm \frac{27}{4}, \pm \frac{27}{8}, \pm \frac{27}{16}, \pm \frac{27}{32}, \pm \frac{27}{64}, \pm 57, \pm \frac{57}{2}, \pm \frac{57}{4}, \pm \frac{57}{8}, \pm \frac{57}{16}, \pm \frac{57}{32}, \pm \frac{57}{64}, \pm 171, \pm \frac{171}{2}, \pm \frac{171}{4}, \pm \frac{171}{8}, \pm \frac{171}{16}, \pm \frac{171}{32}, \pm \frac{171}{64}, \pm 513, \pm \frac{513}{2}, \pm \frac{513}{4}, \pm \frac{513}{8}, \pm \frac{513}{16}, \pm \frac{513}{32}, \pm \frac{513}{64}$

Schritt 4

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$64 {(\frac{9}{4})}^{3} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = \frac{9}{4}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{4}$ an.

$64 \frac{9^{3}}{4^{3}} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Schritt 5.1.2

Potenziere $9$ mit $3$ .

$64 \frac{729}{4^{3}} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Schritt 5.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$64 (\frac{729}{64}) - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Schritt 5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 5.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 (\frac{729}{64}) - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Schritt 5.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$729 - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Schritt 5.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{4}$ an.

$729 - 384 \frac{9^{2}}{4^{2}} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Schritt 5.1.6

Potenziere $9$ mit $2$ .

$729 - 384 \frac{81}{4^{2}} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Schritt 5.1.7

Potenziere $4$ mit $2$ .

$729 - 384 (\frac{81}{16}) + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Schritt 5.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 5.1.8.1

Faktorisiere $16$ aus $- 384$ heraus.

$729 + 16 (- 24) \frac{81}{16} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Schritt 5.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$729 + 16 \cdot - 24 \frac{81}{16} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Schritt 5.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$729 - 24 \cdot 81 + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Schritt 5.1.9

Mutltipliziere $- 24$ mit $81$ .

$729 - 1944 + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Schritt 5.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.1.10.1

Faktorisiere $4$ aus $768$ heraus.

$729 - 1944 + 4 (192) \frac{9}{4} - 513$

Schritt 5.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$729 - 1944 + 4 \cdot 192 \frac{9}{4} - 513$

Schritt 5.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$729 - 1944 + 192 \cdot 9 - 513$

Schritt 5.1.11

Mutltipliziere $192$ mit $9$ .

$729 - 1944 + 1728 - 513$

Schritt 5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1944$ von $729$ .

$- 1215 + 1728 - 513$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 1215$ und $1728$ .

$513 - 513$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $513$ von $513$ .

$0$

Schritt 6

Da $\frac{9}{4}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - \frac{9}{4}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513}{x - \frac{9}{4}}$

Schritt 7

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 7.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$

Schritt 7.2

Die erste Zahl im Dividenden $(64)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$

	$64$

Schritt 7.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(64)$ mit dem Divisor $(\frac{9}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(144)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 384)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$
	$64$

Schritt 7.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$
	$64$	$- 240$

Schritt 7.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 240)$ mit dem Divisor $(\frac{9}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 540)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(768)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$
	$64$	$- 240$

Schritt 7.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$
	$64$	$- 240$	$228$

Schritt 7.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(228)$ mit dem Divisor $(\frac{9}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(513)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 513)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$	$513$
	$64$	$- 240$	$228$

Schritt 7.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$	$513$
	$64$	$- 240$	$228$	$0$

Schritt 7.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$64 x^{2} + - 240 x + 228$

Schritt 7.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$64 x^{2} - 240 x + 228$

Schritt 8

Faktorisiere $4$ aus $64 x^{2} - 240 x + 228$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $4$ aus $64 x^{2}$ heraus.

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) - 240 x + 228)$

Schritt 8.2

Faktorisiere $4$ aus $- 240 x$ heraus.

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x) + 228)$

Schritt 8.3

Faktorisiere $4$ aus $228$ heraus.

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x) + 4 (57))$

Schritt 8.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x)$ heraus.

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2} - 60 x) + 4 (57))$

Schritt 8.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (16 x^{2} - 60 x) + 4 (57)$ heraus.

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2} - 60 x + 57))$

Schritt 9

Vereinfache $64 {(x - 2)}^{3} - 1$ .

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$64 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Schritt 9.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Schritt 9.1.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Schritt 9.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Schritt 9.1.2.4

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) - 1 = 0$

Schritt 9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$64 x^{3} + 64 (- 6 x^{2}) + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Schritt 9.1.4

Vereinfache.

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Schritt 9.1.4.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $64$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Schritt 9.1.4.2

Mutltipliziere $12$ mit $64$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Schritt 9.1.4.3

Mutltipliziere $64$ mit $- 8$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 512 - 1 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $1$ von $- 512$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513 = 0$

Schritt 10

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = \frac{9}{4}$

Schritt 11