Algebra Beispiele

$x^{3} = - i$

Schritt 1

Ersetze $x^{3}$ durch $u$ .

$u^{3} = - i$

Schritt 2

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 3

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 4

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 0$ und $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 5

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Schritt 5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| z | = 1$

Schritt 6

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Schritt 7

Da das Argument nicht definiert ist und $b$ negativ ist, ist der Winkel des Punktes in der komplexen Ebene $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{2}$ und $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 9

Ersetze die rechte Seite der Gleichung durch die trigonometrische Form.

$u^{3} = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 10

Ermittle eine Gleichung für $u$ mithilfe des Satzes von De Moivre.

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = - i = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 11

Setze den Betrag der trigonometrischen Form gleich $r^{3}$ , um den Wert von $r$ zu finden.

$r^{3} = 1$

Schritt 12

Löse die Gleichung nach $r$ auf.

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Schritt 12.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{3} - 1 = 0$

Schritt 12.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.2.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$r^{3} - 1^{3} = 0$

Schritt 12.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = r$ und $b = 1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 12.2.3

Vereinfache.

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Schritt 12.2.3.1

Mutltipliziere $r$ mit $1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r + 1^{2}) = 0$

Schritt 12.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$

Schritt 12.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r - 1 = 0$

$r^{2} + r + 1 = 0$

Schritt 12.4

Setze $r - 1$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 12.4.1

Setze $r - 1$ gleich $0$ .

$r - 1 = 0$

Schritt 12.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r = 1$

Schritt 12.5

Setze $r^{2} + r + 1$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 12.5.1

Setze $r^{2} + r + 1$ gleich $0$ .

$r^{2} + r + 1 = 0$

Schritt 12.5.2

Löse $r^{2} + r + 1 = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 12.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 12.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 12.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 12.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 12.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 12.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$r = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.5.2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.5.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 12.5.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$r = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 12.5.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 12.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 12.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$r = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.5.2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.5.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 12.5.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$r = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 12.5.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$ wahr machen.

$r = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 13

Finde den Näherungswert von $r$ .

$r = 1$

Schritt 14

Ermittle die möglichen Werte von $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (2 π n)$ und $s i n (3 θ) = s i n (2 π n)$

Schritt 15

Alle möglichen Werte von $θ$ zu ermitteln führt zur Gleichung $3 θ = 2 π n$ .

$3 θ = 2 π n$

Schritt 16

Ermittele den Wert von $θ$ für $r = 0$ .

$3 θ = 2 π (0)$

Schritt 17

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

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Schritt 17.1

Multipliziere $2 π \cdot 0$ .

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Schritt 17.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$3 θ = 0 π$

Schritt 17.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$3 θ = 0$

Schritt 17.2

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 17.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 17.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 17.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 17.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 17.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{0}{3}$

Schritt 17.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 17.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$θ = 0$

Schritt 18

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{3} = - i$ zu ermitteln.

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

Schritt 19

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

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Schritt 19.1

Mutltipliziere $\cos (0) + i \sin (0)$ mit $1$ .

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

Schritt 19.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

Schritt 19.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

Schritt 19.2.3

Mutltipliziere $i$ mit $0$ .

$u_{0} = 1 + 0$

Schritt 19.3

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{0} = 1$

Schritt 20

Setze $x^{3}$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach rechts zu berechnen.

$z_{0} = 0 + 1$

Schritt 21

Ermittele den Wert von $θ$ für $r = 1$ .

$3 θ = 2 π (1)$

Schritt 22

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

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Schritt 22.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 θ = 2 π$

Schritt 22.2

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = 2 π$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 22.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = 2 π$ durch $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 22.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 22.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 22.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 22.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Schritt 23

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{3} = - i$ zu ermitteln.

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 24

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

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Schritt 24.1

Mutltipliziere $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ mit $1$ .

$u_{1} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Schritt 24.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$u_{1} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Schritt 24.2.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Schritt 24.2.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 24.2.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 24.2.5

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 25

Setze $x^{3}$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach rechts zu berechnen.

$z_{1} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 26

Ermittele den Wert von $θ$ für $r = 2$ .

$3 θ = 2 π (2)$

Schritt 27

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

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Schritt 27.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 θ = 4 π$

Schritt 27.2

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = 4 π$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 27.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = 4 π$ durch $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

Schritt 27.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 27.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 27.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

Schritt 27.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Schritt 28

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{3} = - i$ zu ermitteln.

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

Schritt 29

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

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Schritt 29.1

Mutltipliziere $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ mit $1$ .

$u_{2} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Schritt 29.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 29.2.1

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Schritt 29.2.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Schritt 29.2.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 29.2.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 29.2.5

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 30

Setze $x^{3}$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach rechts zu berechnen.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 31

Dies sind die komplexen Lösungen für $u^{3} = - i$ .

$z_{0} = 1$

$z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$