Algebra Beispiele

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} = \frac{4 x - 4}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{4 x - 4}{x^{2} - 4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 x - 4}{x^{2} - 4} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 x - 4}{x^{2} - 4}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 4$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x) - 4}{x^{2} - 4} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x) + 4 (- 1)}{x^{2} - 4} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (- 1)$ heraus.

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{x^{2} - 4} = 0$

Schritt 2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{x^{2} - 2^{2}} = 0$

Schritt 2.1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{3}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.3

Um $\frac{2}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{x + 2}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) x} + \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) x} + \frac{2 (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(x + 2) x$ um.

$\frac{3 x}{x (x + 2)} + \frac{2 (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x + 2 (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 2 x + 2 \cdot 2}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 x + 2 x + 4}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.6.3

Addiere $3 x$ und $2 x$ .

$\frac{5 x + 4}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.7

Um $\frac{5 x + 4}{x (x + 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{5 x + 4}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8

Um $- \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{5 x + 4}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} = 0$

Schritt 2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x + 2) (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{5 x + 4}{x (x + 2)}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(5 x + 4) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} = 0$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $\frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(5 x + 4) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)} - \frac{4 (x - 1) x}{(x + 2) (x - 2) x} = 0$

Schritt 2.9.3

Stelle die Faktoren von $(x + 2) (x - 2) x$ um.

$\frac{(5 x + 4) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)} - \frac{4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(5 x + 4) (x - 2) - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.1

Multipliziere $(5 x + 4) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.11.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x (x - 2) + 4 (x - 2) - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2 + 4 (x - 2) - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x + 4 x - 8 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.2.2

Addiere $- 10 x$ und $4 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 + (- 4 x + 4) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 x \cdot x + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 (x \cdot x) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 x^{2} + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.7

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $5 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - 8 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.8

Addiere $- 6 x$ und $4 x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 8}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11.9

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.11.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 2.11.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 2.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.12.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x - 4}{x (x - 2)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (x - 2) = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = 0, x = 2$

Schritt 6