Algebra Beispiele

$\sqrt{\frac{48}{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{48}{x}}$ als ${(\frac{48}{x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{48}{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \frac{48}{x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{48}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{48}{x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

Schritt 8

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{48}{x}$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} (48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Kombiniere $48$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{48}{2} {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $2$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $48$ heraus.

$\frac{2 \cdot 24}{2} {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 24}{2 (1)} {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1} {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{24}{1} {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 9.2.2.4

Dividiere $24$ durch $1$ .

$24 {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 9.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$24 {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$24 {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- x^{- 2})$

Schritt 11

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$- 24 {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} x^{- 2}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$- 24 {(\frac{x}{48})}^{\frac{1}{2}} x^{- 2}$

Schritt 12.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 {(\frac{x}{48})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 12.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{48}$ an.

$- 24 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{48^{\frac{1}{2}}} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 12.4

Vereine die Terme

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Schritt 12.4.1

Kombiniere $- 24$ und $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{48^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 24 x^{\frac{1}{2}}}{48^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 12.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{24 x^{\frac{1}{2}}}{48^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 12.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{24 x^{\frac{1}{2}}}{48^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{24 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.4

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{24}{x^{2} \cdot 48^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.4.5.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{24}{x^{- \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{24}{x^{- \frac{1}{2} + 2} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.5.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{24}{x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.5.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{24}{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{24}{x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.5.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{24}{x^{\frac{- 1 + 4}{2}} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.5.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$- \frac{24}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$