Algebra Beispiele

$\arcsin (\sqrt{\sin (11 x)})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\sin (11 x)}$ als ${\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\arcsin ({\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arcsin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {({\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${({\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{1} (11 x)}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Vereinfache.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \sin (11 x)$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (11 x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (11 x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${\sin (11 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{{\sin (11 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Schritt 10.3

Bringe ${\sin (11 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)]$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 11 x$ .

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Schritt 11.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $11 x$ .

$\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [11 x])$

Schritt 11.2

Die Ableitung von $\sin (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [11 x])$

Schritt 11.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $11 x$ .

$\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\cos (11 x) \frac{d}{d x} [11 x])$

Schritt 12

Differenziere.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\cos (11 x)$ und $\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}}$ .

$\frac{\cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} \frac{d}{d x} [11 x]$

Schritt 12.2

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 x$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} (11 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 12.3

Kombiniere $11$ und $\frac{\cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}}$ .

$\frac{11 \cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{11 \cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} \cdot 1$

Schritt 12.5

Mutltipliziere $\frac{11 \cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}}$ mit $1$ .

$\frac{11 \cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}}$