Algebra Beispiele

$f (t) = 15 t e^{- \frac{1}{3} t}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [15 t e^{- \frac{t}{3}}]$

Schritt 1.2

Da $15$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $15 t e^{- \frac{t}{3}}$ nach $t$ gleich $15 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{3}}]$ .

$15 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = e^{- \frac{t}{3}}$ .

$15 (t \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{3}}] + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - \frac{t}{3}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{t}{3}$ .

$15 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$15 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{t}{3}$ .

$15 (t (e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{t}{3}$ nach $t$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$15 (t (e^{- \frac{t}{3}} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t])) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $e^{- \frac{t}{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$15 (t (- \frac{e^{- \frac{t}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t]) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $t$ und $\frac{e^{- \frac{t}{3}}}{3}$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t] + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} + e^{- \frac{t}{3}} \cdot 1)$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $e^{- \frac{t}{3}}$ mit $1$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} + e^{- \frac{t}{3}})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3}) + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$- 15 \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $- 15$ und $\frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3}$ .

$\frac{- 15 (t e^{- \frac{t}{3}})}{3} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $3$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 15 t e^{- \frac{t}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (- 5 t e^{- \frac{t}{3}})}{3} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (- 5 t e^{- \frac{t}{3}})}{3 (1)} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 5 t e^{- \frac{t}{3}})}{3 \cdot 1} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5 t e^{- \frac{t}{3}}}{1} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Schritt 5.2.3.2.4

Dividiere $- 5 t e^{- \frac{t}{3}}$ durch $1$ .

$- 5 t e^{- \frac{t}{3}} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$- 5 e^{- \frac{t}{3}} t + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren in $- 5 e^{- \frac{t}{3}} t + 15 e^{- \frac{t}{3}}$ um.

$- 5 t e^{- \frac{t}{3}} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$