Algebra Beispiele

$s (t) = 20 e^{\frac{1}{2} t^{3} + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{3}$ .

$\frac{d}{d t} [20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}]$

Schritt 1.2

Da $20$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ nach $t$ gleich $20 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}]$ .

$20 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = \frac{t^{3}}{2} + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t^{3}}{2} + 1$ .

$20 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2} + 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$20 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2} + 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t^{3}}{2} + 1$ .

$20 (e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2} + 1])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{t^{3}}{2} + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t^{3}}{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{1}{2} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{3}{2} t^{2} + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $t^{2}$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{3 t^{2}}{2} + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{3 t^{2}}{2} + 0)$

Schritt 3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.6.1

Addiere $\frac{3 t^{2}}{2}$ und $0$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} \frac{3 t^{2}}{2}$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $\frac{3 t^{2}}{2}$ und $20$ .

$\frac{3 t^{2} \cdot 20}{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $20$ mit $3$ .

$\frac{60 t^{2}}{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$

Schritt 3.6.4

Kombiniere $\frac{60 t^{2}}{2}$ und $e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ .

$\frac{60 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}}{2}$

Schritt 3.6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $60$ und $2$ .

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Schritt 3.6.5.1

Faktorisiere $2$ aus $60 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ heraus.

$\frac{2 (30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1})}{2}$

Schritt 3.6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1})}{2 (1)}$

Schritt 3.6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}}{1}$

Schritt 3.6.5.2.4

Dividiere $30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ durch $1$ .

$30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$