Algebra Beispiele

$f (x) = \ln (| \ln (13 x) |)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = | \ln (13 x) |$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $| \ln (13 x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \ln (13 x) |]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \ln (13 x) |]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $| \ln (13 x) |$ .

$\frac{1}{| \ln (13 x) |} \frac{d}{d x} [| \ln (13 x) |]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = \ln (13 x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\ln (13 x)$ .

$\frac{1}{| \ln (13 x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\ln (13 x)])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $| u_{2} |$ nach $u_{2}$ ist $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \ln (13 x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (13 x)$ .

$\frac{1}{| \ln (13 x) |} (\frac{\ln (13 x)}{| \ln (13 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)])$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{\ln (13 x)}{| \ln (13 x) |}$ mit $\frac{1}{| \ln (13 x) |}$ .

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln (13 x) | | \ln (13 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)]$

Schritt 4

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln (13 x) \ln (13 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)]$

Schritt 5

Potenziere $\ln (13 x)$ mit $1$ .

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln^{1} (13 x) \ln (13 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)]$

Schritt 6

Potenziere $\ln (13 x)$ mit $1$ .

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln^{1} (13 x) \ln^{1} (13 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)]$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\ln (13 x)}{| {\ln (13 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)]$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln^{2} (13 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)]$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 13 x$ .

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Schritt 9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $13 x$ .

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln^{2} (13 x) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [13 x])$

Schritt 9.2

Die Ableitung von $\ln (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\frac{1}{u_{3}}$ .

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln^{2} (13 x) |} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [13 x])$

Schritt 9.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $13 x$ .

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln^{2} (13 x) |} (\frac{1}{13 x} \frac{d}{d x} [13 x])$

Schritt 10

Differenziere.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{13 x}$ mit $\frac{\ln (13 x)}{| \ln^{2} (13 x) |}$ .

$\frac{\ln (13 x)}{13 x | \ln^{2} (13 x) |} \frac{d}{d x} [13 x]$

Schritt 10.2

Da $13$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $13 x$ nach $x$ gleich $13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (13 x)}{13 x | \ln^{2} (13 x) |} (13 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 10.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $13$ und $\frac{\ln (13 x)}{13 x | \ln^{2} (13 x) |}$ .

$\frac{13 \ln (13 x)}{13 x | \ln^{2} (13 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

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Schritt 10.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{13 \ln (13 x)}{13 x | \ln^{2} (13 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (13 x)}{x | \ln^{2} (13 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\ln (13 x)}{x | \ln^{2} (13 x) |} \cdot 1$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $\frac{\ln (13 x)}{x | \ln^{2} (13 x) |}$ mit $1$ .

$\frac{\ln (13 x)}{x | \ln^{2} (13 x) |}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{\ln (13 x)}{x \ln^{2} (13 x)}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\ln (13 x)$ und $\ln^{2} (13 x)$ .

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Schritt 11.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\ln (13 x) \cdot 1}{x \ln^{2} (13 x)}$

Schritt 11.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.1

Faktorisiere $\ln (13 x)$ aus $x \ln^{2} (13 x)$ heraus.

$\frac{\ln (13 x) \cdot 1}{\ln (13 x) (x \ln (13 x))}$

Schritt 11.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (13 x) \cdot 1}{\ln (13 x) (x \ln (13 x))}$

Schritt 11.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x \ln (13 x)}$