Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{10 x + 5}{3 - 7 x}$ , $g (x) = \frac{3 x - 5}{7 x + 10}$

Schritt 1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g (f (x))$

Schritt 2

Berechne $g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $g$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{3 (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) - 5}{7 (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $5$ aus $10 x + 5$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $10 x$ heraus.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{3 (\frac{5 (2 x) + 5}{3 - 7 x}) - 5}{7 (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{3 (\frac{5 (2 x) + 5 (1)}{3 - 7 x}) - 5}{7 (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (2 x) + 5 (1)$ heraus.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{3 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) - 5}{7 (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $5$ aus $10 x + 5$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10 x$ heraus.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{3 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) - 5}{7 (\frac{5 (2 x) + 5}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{3 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) - 5}{7 (\frac{5 (2 x) + 5 (1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (2 x) + 5 (1)$ heraus.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{3 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) - 5}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $3 \frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}$ .

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{3 (5 (2 x + 1))}{3 - 7 x} - 5}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{15 (2 x + 1)}{3 - 7 x} - 5}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - 7 x}{3 - 7 x}$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{15 (2 x + 1)}{3 - 7 x} - 5 \cdot \frac{3 - 7 x}{3 - 7 x}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3 - 7 x}{3 - 7 x}$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{15 (2 x + 1)}{3 - 7 x} + \frac{- 5 (3 - 7 x)}{3 - 7 x}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{15 (2 x + 1) - 5 (3 - 7 x)}{3 - 7 x}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.5

Stelle die Terme um.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{15 (2 x + 1) - 5 (3 - 7 x)}{- 7 x + 3}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.6

Schreibe $\frac{15 (2 x + 1) - 5 (3 - 7 x)}{- 7 x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $5$ aus $15 (2 x + 1) - 5 (3 - 7 x)$ heraus.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere $5$ aus $15 (2 x + 1)$ heraus.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{5 (3 (2 x + 1)) - 5 (3 - 7 x)}{- 7 x + 3}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.6.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 (3 - 7 x)$ heraus.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{5 (3 (2 x + 1)) + 5 (- (3 - 7 x))}{- 7 x + 3}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.6.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (3 (2 x + 1)) + 5 (- (3 - 7 x))$ heraus.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{5 (3 (2 x + 1) - (3 - 7 x))}{- 7 x + 3}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{5 (3 (2 x) + 3 \cdot 1 - (3 - 7 x))}{- 7 x + 3}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{5 (6 x + 3 \cdot 1 - (3 - 7 x))}{- 7 x + 3}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.6.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{5 (6 x + 3 - (3 - 7 x))}{- 7 x + 3}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{5 (6 x + 3 - 1 \cdot 3 - (- 7 x))}{- 7 x + 3}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{5 (6 x + 3 - 3 - (- 7 x))}{- 7 x + 3}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.6.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{5 (6 x + 3 - 3 + 7 x)}{- 7 x + 3}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.6.8

Addiere $6 x$ und $7 x$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{5 (13 x + 3 - 3)}{- 7 x + 3}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.6.9

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{5 (13 x + 0)}{- 7 x + 3}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.6.10

Addiere $13 x$ und $0$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{5 \cdot (13 x)}{- 7 x + 3}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 4.6.11

Mutltipliziere $5$ mit $13$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{7 (\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}) + 10}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere $7 \frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}$ .

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $7$ und $\frac{5 (2 x + 1)}{3 - 7 x}$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{7 (5 (2 x + 1))}{3 - 7 x} + 10}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{35 (2 x + 1)}{3 - 7 x} + 10}$

Schritt 5.2

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - 7 x}{3 - 7 x}$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{35 (2 x + 1)}{3 - 7 x} + \frac{10 (3 - 7 x)}{3 - 7 x}}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{35 (2 x + 1) + 10 (3 - 7 x)}{3 - 7 x}}$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{35 (2 x + 1) + 10 (3 - 7 x)}{- 7 x + 3}}$

Schritt 5.5

Schreibe $\frac{35 (2 x + 1) + 10 (3 - 7 x)}{- 7 x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $5$ aus $35 (2 x + 1) + 10 (3 - 7 x)$ heraus.

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Schritt 5.5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $35 (2 x + 1)$ heraus.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{5 (7 (2 x + 1)) + 10 (3 - 7 x)}{- 7 x + 3}}$

Schritt 5.5.1.2

Faktorisiere $5$ aus $10 (3 - 7 x)$ heraus.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{5 (7 (2 x + 1)) + 5 (2 (3 - 7 x))}{- 7 x + 3}}$

Schritt 5.5.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (7 (2 x + 1)) + 5 (2 (3 - 7 x))$ heraus.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{5 (7 (2 x + 1) + 2 (3 - 7 x))}{- 7 x + 3}}$

Schritt 5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{5 (7 (2 x) + 7 \cdot 1 + 2 (3 - 7 x))}{- 7 x + 3}}$

Schritt 5.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{5 (14 x + 7 \cdot 1 + 2 (3 - 7 x))}{- 7 x + 3}}$

Schritt 5.5.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{5 (14 x + 7 + 2 (3 - 7 x))}{- 7 x + 3}}$

Schritt 5.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{5 (14 x + 7 + 2 \cdot 3 + 2 (- 7 x))}{- 7 x + 3}}$

Schritt 5.5.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{5 (14 x + 7 + 6 + 2 (- 7 x))}{- 7 x + 3}}$

Schritt 5.5.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{5 (14 x + 7 + 6 - 14 x)}{- 7 x + 3}}$

Schritt 5.5.8

Subtrahiere $14 x$ von $14 x$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{5 (0 + 7 + 6)}{- 7 x + 3}}$

Schritt 5.5.9

Addiere $0$ und $7$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{5 (7 + 6)}{- 7 x + 3}}$

Schritt 5.5.10

Addiere $7$ und $6$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{5 \cdot 13}{- 7 x + 3}}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $5$ mit $13$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{\frac{65 x}{- 7 x + 3}}{\frac{65}{- 7 x + 3}}$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{65 x}{- 7 x + 3} \cdot \frac{- 7 x + 3}{65}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $65$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $65$ aus $65 x$ heraus.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{65 (x)}{- 7 x + 3} \cdot \frac{- 7 x + 3}{65}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{65 x}{- 7 x + 3} \cdot \frac{- 7 x + 3}{65}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{x}{- 7 x + 3} \cdot (- 7 x + 3)$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{x}{- 7 x + 3}$ mit $- 7 x + 3$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{x (- 7 x + 3)}{- 7 x + 3}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7 x + 3$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = \frac{x (- 7 x + 3)}{- 7 x + 3}$

Schritt 9.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$g (\frac{10 x + 5}{3 - 7 x}) = x$