Algebra Beispiele

$f (x) = x^{2} - 81$ $g (x) = {(x - 9)}^{- 1} (x + 9)$

Schritt 1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (g (x))$

Schritt 2

Berechne $f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9))$ durch Einsetzen des Wertes von $g$ in $f$ .

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = {({(x - 9)}^{- 1} (x + 9))}^{2} - 81$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = {(\frac{1}{x - 9} \cdot (x + 9))}^{2} - 81$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 9}$ mit $x + 9$ .

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = {(\frac{x + 9}{x - 9})}^{2} - 81$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x + 9}{x - 9}$ an.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{{(x + 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}} - 81$

Schritt 4

Um $- 81$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{{(x + 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}} - 81 \cdot \frac{{(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombiniere $- 81$ und $\frac{{(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{{(x + 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}} + \frac{- 81 {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{{(x + 9)}^{2} - 81 {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Schreibe $81 {(x - 9)}^{2}$ als ${(9 (x - 9))}^{2}$ um.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{{(x + 9)}^{2} - {(9 (x - 9))}^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x + 9$ und $b = 9 (x - 9)$ .

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{(x + 9 + 9 (x - 9)) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{(x + 9 + 9 x + 9 \cdot - 9) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 9$ .

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{(x + 9 + 9 x - 81) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.3.3

Addiere $x$ und $9 x$ .

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{(10 x + 9 - 81) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.3.4

Subtrahiere $81$ von $9$ .

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{(10 x - 72) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.3.5

Faktorisiere $2$ aus $10 x - 72$ heraus.

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Schritt 6.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{(2 (5 x) - 72) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 72$ heraus.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{(2 (5 x) + 2 (- 36)) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 x) + 2 (- 36)$ heraus.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.3.6

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (x + 9 - 9 (x - 9))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (x + 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 9$ .

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (x + 9 - 9 x + 81)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $9 x$ von $x$ .

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (- 8 x + 9 + 81)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.6

Addiere $9$ und $81$ .

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (- 8 x + 90)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x + 90$ heraus.

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Schritt 6.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (2 (- 4 x) + 90)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.7.2

Faktorisiere $2$ aus $90$ heraus.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (2 (- 4 x) + 2 (45))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 4 x) + 2 (45)$ heraus.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (2 (- 4 x + 45))}{{(x - 9)}^{2}}$

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) \cdot (2 (- 4 x + 45))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{4 (5 x - 36) (- 4 x + 45)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{4 (5 x - 36) (- (4 x) + 45)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2

Schreibe $45$ als $- 1 (- 45)$ um.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{4 (5 x - 36) (- (4 x) - 1 \cdot - 45)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x) - 1 (- 45)$ heraus.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{4 (5 x - 36) (- (4 x - 45))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.4.1

Schreibe $- (4 x - 45)$ als $- 1 (4 x - 45)$ um.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{4 (5 x - 36) (- 1 (4 x - 45))}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 7.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = - \frac{(4 (5 x - 36)) (4 x - 45)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 7.4.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{(4 (5 x - 36)) (4 x - 45)}{{(x - 9)}^{2}}$ um.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = - \frac{4 (5 x - 36) (4 x - 45)}{{(x - 9)}^{2}}$