Algebra Beispiele

$x \geq - 3 {(y - 2)}^{2} - 5$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Stelle so um, dass $y$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$- 3 {(y - 2)}^{2} - 5 \leq x$

Schritt 1.2

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- 3 {(y - 2)}^{2} \leq x + 5$

Schritt 2

Ermittle Steigung und Schnittpunkt mit der y-Achse für die Grenzlinie.

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Schritt 2.1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 2.1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 {(y - 2)}^{2} \leq x + 5$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Term in $- 3 {(y - 2)}^{2} \leq x + 5$ durch $- 3$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 3 {(y - 2)}^{2}}{- 3} \geq \frac{x}{- 3} + \frac{5}{- 3}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 {(y - 2)}^{2}}{- 3} \geq \frac{x}{- 3} + \frac{5}{- 3}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere ${(y - 2)}^{2}$ durch $1$ .

${(y - 2)}^{2} \geq \frac{x}{- 3} + \frac{5}{- 3}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(y - 2)}^{2} \geq - \frac{x}{3} + \frac{5}{- 3}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(y - 2)}^{2} \geq - \frac{x}{3} - \frac{5}{3}$

Schritt 2.1.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{{(y - 2)}^{2}} \geq \sqrt{- \frac{x}{3} - \frac{5}{3}}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.1.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y - 2 | \geq \sqrt{- \frac{x}{3} - \frac{5}{3}}$

Schritt 2.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{- \frac{x}{3} - \frac{5}{3}}$ .

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Schritt 2.1.4.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{x}{3} - \frac{5}{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.4.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{x}{3}$ heraus.

$| y - 2 | \geq \sqrt{- (\frac{x}{3}) - \frac{5}{3}}$

Schritt 2.1.4.2.1.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{5}{3}$ heraus.

$| y - 2 | \geq \sqrt{- (\frac{x}{3}) - (\frac{5}{3})}$

Schritt 2.1.4.2.1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\frac{x}{3}) - (\frac{5}{3})$ heraus.

$| y - 2 | \geq \sqrt{- (\frac{x}{3} + \frac{5}{3})}$

Schritt 2.1.4.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| y - 2 | \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}}$

Schritt 2.1.5

Schreibe $| y - 2 | \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.1.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$y - 2 \geq 0$

Schritt 2.1.5.2

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$y \geq 2$

Schritt 2.1.5.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $y - 2$ nicht negativ ist.

$y - 2 \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}}$

Schritt 2.1.5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $y - 2 \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y \geq 2$ .

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Schritt 2.1.5.4.1

Bestimme den Definitionsbereich von $y - 2 \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}}$ .

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Schritt 2.1.5.4.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- \frac{x + 5}{3}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- \frac{x + 5}{3} \geq 0$

Schritt 2.1.5.4.1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1.5.4.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x + 5}{3} \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.5.4.1.2.1.1

Teile jeden Term in $- \frac{x + 5}{3} \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{x + 5}{3}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.1.5.4.1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.5.4.1.2.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x + 5}{3}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.1.5.4.1.2.1.2.2

Dividiere $\frac{x + 5}{3}$ durch $1$ .

$\frac{x + 5}{3} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.1.5.4.1.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.5.4.1.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\frac{x + 5}{3} \leq 0$

Schritt 2.1.5.4.1.2.2

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{x + 5}{3} \cdot 3 \leq 0 \cdot 3$

Schritt 2.1.5.4.1.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.4.1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.5.4.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.5.4.1.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 5}{3} \cdot 3 \leq 0 \cdot 3$

Schritt 2.1.5.4.1.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 5 \leq 0 \cdot 3$

Schritt 2.1.5.4.1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.5.4.1.2.3.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$x + 5 \leq 0$

Schritt 2.1.5.4.1.2.4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \leq - 5$

Schritt 2.1.5.4.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 5]$

Schritt 2.1.5.4.2

Bestimme die Schnittmenge von $y \geq 2$ und $(- \infty, - 5]$ .

$Keine Lösung$

Schritt 2.1.5.5

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$y - 2 < 0$

Schritt 2.1.5.6

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$y < 2$

Schritt 2.1.5.7

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $y - 2$ negativ ist.

$- (y - 2) \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}}$

Schritt 2.1.5.8

Bestimme den Definitionsbereich von $- (y - 2) \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y < 2$ .

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Schritt 2.1.5.8.1

Bestimme den Definitionsbereich von $- (y - 2) \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}}$ .

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Schritt 2.1.5.8.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- \frac{x + 5}{3}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- \frac{x + 5}{3} \geq 0$

Schritt 2.1.5.8.1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1.5.8.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x + 5}{3} \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.5.8.1.2.1.1

Teile jeden Term in $- \frac{x + 5}{3} \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{x + 5}{3}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.1.5.8.1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.5.8.1.2.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x + 5}{3}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.1.5.8.1.2.1.2.2

Dividiere $\frac{x + 5}{3}$ durch $1$ .

$\frac{x + 5}{3} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.1.5.8.1.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.5.8.1.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\frac{x + 5}{3} \leq 0$

Schritt 2.1.5.8.1.2.2

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{x + 5}{3} \cdot 3 \leq 0 \cdot 3$

Schritt 2.1.5.8.1.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.8.1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.5.8.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.5.8.1.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 5}{3} \cdot 3 \leq 0 \cdot 3$

Schritt 2.1.5.8.1.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 5 \leq 0 \cdot 3$

Schritt 2.1.5.8.1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.5.8.1.2.3.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$x + 5 \leq 0$

Schritt 2.1.5.8.1.2.4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \leq - 5$

Schritt 2.1.5.8.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 5]$

Schritt 2.1.5.8.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < 2$ und $(- \infty, - 5]$ .

$y \leq - 5$

Schritt 2.1.5.9

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} - (y - 2) \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}} & y \leq - 5 \end{cases}$

Schritt 2.1.5.10

Vereinfache $- (y - 2) \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}}$ .

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Schritt 2.1.5.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} - y - - 2 \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}} & y \leq - 5 \end{cases}$

Schritt 2.1.5.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

${\begin{cases} - y + 2 \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}} & y \leq - 5 \end{cases}$

Schritt 2.1.6

Löse $- y + 2 \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}}$ , wenn $y \leq - 5$ ergibt.

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Schritt 2.1.6.1

Löse $- y + 2 \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}}$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.1.6.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.6.1.1.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- y \geq \sqrt{- \frac{x + 5}{3}} - 2$

Schritt 2.1.6.1.1.2

Zerlege den Bruch $\frac{x + 5}{3}$ in zwei Brüche.

$- y \geq \sqrt{- (\frac{x}{3} + \frac{5}{3})} - 2$

Schritt 2.1.6.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- y \geq \sqrt{- (\frac{x}{3} + \frac{5}{3})} - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1.2.1

Teile jeden Term in $- y \geq \sqrt{- (\frac{x}{3} + \frac{5}{3})} - 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{\sqrt{- (\frac{x}{3} + \frac{5}{3})}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.1.6.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.6.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} \leq \frac{\sqrt{- (\frac{x}{3} + \frac{5}{3})}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.1.6.1.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y \leq \frac{\sqrt{- (\frac{x}{3} + \frac{5}{3})}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.1.6.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.6.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.6.1.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{- (\frac{x}{3} + \frac{5}{3})}}{- 1}$ .

$y \leq - 1 \cdot \sqrt{- (\frac{x}{3} + \frac{5}{3})} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.1.6.1.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{- (\frac{x}{3} + \frac{5}{3})}$ als $- \sqrt{- (\frac{x}{3} + \frac{5}{3})}$ um.

$y \leq - \sqrt{- (\frac{x}{3} + \frac{5}{3})} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.1.6.1.2.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y \leq - \sqrt{- \frac{x + 5}{3}} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.1.6.1.2.3.1.4

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$y \leq - \sqrt{- \frac{x + 5}{3}} + 2$

Schritt 2.1.6.2

Bestimme die Schnittmenge von $y \leq - \sqrt{- \frac{x + 5}{3}} + 2$ und $y \leq - 5$ .

$y \leq N o (Min i m u m)$

Schritt 2.1.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$y \leq N o (Min i m u m)$

Schritt 2.2

Die Gleichung ist nicht linear, und folglich existiert keine konstante Steigung.

Nicht linear

Schritt 3

Zeichne eine durchgehende Linie und schraffiere dann die Fläche unterhalb der Grenzlinie, da $y$ kleiner als $x + 5$ ist.

$- 3 {(y - 2)}^{2} \leq x + 5$

Schritt 4