Algebra Beispiele

$P (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 8$ , $d (x) = x + 2$

Schritt 1

Ersetze die Funktionsbezeichner durch die tatsächlichen Funktionen in $\frac{P (x)}{d (x)}$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{2} - 8}{x + 2}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 8}{x + 2}$

Schritt 2.1.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$\frac{u^{2} - 2 u - 8}{x + 2}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $u^{2} - 2 u - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 2.1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(u - 4) (u + 2)}{x + 2}$

Schritt 2.1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (x^{2} + 2)}{x + 2}$

Schritt 2.1.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 2)}{x + 2}$

Schritt 2.1.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $(x - 2) (x^{2} + 2)$ durch $1$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2)$

Schritt 2.3

Multipliziere $(x - 2) (x^{2} + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x^{2} + 2) - 2 (x^{2} + 2)$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x^{2} + x \cdot 2 - 2 (x^{2} + 2)$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x^{2} + x \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 2$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.4.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{2} + x \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 2} + x \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} + x \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{3} + 2 \cdot x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$x^{3} + 2 x - 2 x^{2} - 4$